Chapitre 1

Les trinômes du second degré

Chapitre 1
Les trinômes du second degré

Enoncé Corrigé
1 \(\displaystyle{\frac{x^{2} - 4x - 5}{x - 2} \geqslant 0}\)

Pour résoudre cette inéquation, on détermine le signe du quotient \(\displaystyle{\frac{x^{2} - 4x - 5}{x - 2}}\) .

On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.

Signe de \(\displaystyle{x^{2} - 4x - 5}\)

Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :

\(\displaystyle{\Delta = b^{2} - 4ac = 16 + (4 \times 5) = 36 = 6^{2}}\)

\(\displaystyle{\Delta}\) est positif, donc le trinôme admet deux racines :

  • \(\displaystyle{x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{ 4 - 6}{2} = - 1}\)
  • \(\displaystyle{x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = 5}\)

Le coefficient du terme de degré \(\displaystyle{2}\) du trinôme étant positif, on en déduit que le trinôme est :

  • positif sur \(\displaystyle{]- \infty ; - 1[ \cup ]5 ; + \infty[}\)
  • et négatif ailleurs.
Signe de \(\displaystyle{x - 2}\)

L'expression \(\displaystyle{x - 2}\) est :

  • négative sur \(\displaystyle{]- \infty ; 2]}\)
  • positive ailleurs.

On note de plus que \(\displaystyle{2}\) annule le dénominateur : c'est donc une valeur interdite.

Tableau de signes

On en déduit finalement le tableau de signes suivant :

1SESL01286-01.PNG
Les solutions de l'inéquation sont donc : \(\displaystyle{S = [- 1 ; 2[ \cup [5 ; + \infty [}\)
2 \(\displaystyle{\frac{x^{2} + 4x + 4}{x^{2} - 9} \lt 0}\)

En procédant de la même manière :

Signe de \(\displaystyle{x^{2} + 4x + 4}\)

On remarque que : \(\displaystyle{x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2}}\)

Le numérateur du quotient étant un carré, il est donc positif pour tout réel \(\displaystyle{x}\), et il s'annule en \(\displaystyle{- 2}\).

Signe de \(\displaystyle{x^{2} - 9}\)

On remarque que : \(\displaystyle{x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)}\)

Le trinôme \(\displaystyle{x^{2} - 9}\) admet donc deux racines : \(\displaystyle{- 3}\) et \(\displaystyle{3}\).

Le coefficient du terme de degré \(\displaystyle{2}\) du trinôme étant positif, on en déduit que le trinôme est :

  • positif sur \(\displaystyle{]- \infty ; - 3[ \cup ]3 ; + \infty[}\)
  • et négatif ailleurs.

On note de plus que \(\displaystyle{- 3}\) et \(\displaystyle{3}\) annulent le dénominateur : ce sont donc des valeurs interdites.

Tableau de signes

On en déduit finalement le tableau de signes suivant :

1SESL01286-02.PNG
Les solutions de l'inéquation sont donc : \(\displaystyle{S = ]- 3 ; - 2[ \cup ]- 2 ; 3[}\)
3 \(\displaystyle{\frac{x - 2}{2x} \leqslant \frac{2x + 1}{x - 1}}\)

Pour résoudre cette inéquation, il faut au préalable se ramener à l'étude du signe d'un quotient. On regroupe donc tous les termes d'un côté et on réduit l'expression au même dénominateur :

\(\displaystyle{\frac{x - 2}{2x} \leqslant \frac{2x + 1}{x - 1}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{x - 2}{2x} - \frac{2x + 1}{x - 1} \leqslant 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{(x - 2) (x - 1) - 2x (2x + 1)}{2x (x - 1)} \leqslant 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{ - 3x^{2} - 5x + 2}{2x (x - 1)} \leqslant 0}\)

On procède alors de la même manière que précédemment.

Signe de \(\displaystyle{- 3x^{2} - 5x + 2}\)

Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :

\(\displaystyle{\Delta = b^{2} - 4ac = 25 + (4 \times 3 \times 2) = 49 = 7^{2}}\)

\(\displaystyle{\Delta}\) est positif, donc le trinôme admet deux racines :

  • \(\displaystyle{x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - 7}{- 6} = \frac{1}{3}}\)
  • \(\displaystyle{x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 7}{- 6} = - 2}\)

Le coefficient du terme de degré \(\displaystyle{2}\) du trinôme étant négatif, on en déduit que le trinôme est :

  • négatif sur \(\displaystyle{\bigg]- \infty ; - 2\bigg[ \cup \left] \frac{1}{3} ; + \infty\right[}\)
  • et positif ailleurs.
Signe de \(\displaystyle{2x (x - 1)}\)

Il s'agit d'un trinôme du second degré déjà factorisé. On en déduit donc qu'il admet deux racines : \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{1}\).

Le coefficient du terme de degré \(\displaystyle{2}\) du trinôme étant positif (le terme de degré \(\displaystyle{2}\) est égal à \(\displaystyle{2x^{2}}\) après développement), on en déduit que le trinôme est :

  • positif sur \(\displaystyle{]- \infty ; 0[ \cup ]1 ; + \infty[}\)
  • et négatif ailleurs.

On note de plus que \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{1}\) annulent le dénominateur : ce sont donc des valeurs interdites.

Tableau de signes

On en déduit finalement le tableau de signes suivant :

1SESL01286-03.PNG
Les solutions de l'inéquation sont donc : \(\displaystyle{S = \bigg]- \infty ; - 2\bigg] \cup \left]0 ; \frac{1}{3} \right] \cup \bigg]1 ; + \infty\bigg[}\)
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