Chapitre 1

Les trinômes du second degré

Chapitre 1
Les trinômes du second degré

Enoncé Corrigé
1 Déterminer les coordonnées du sommet \(\displaystyle{S}\) de la parabole \(\displaystyle{C}\) dans le repère \(\displaystyle{(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} )}\).
Le sommet de la parabole d’équation \(\displaystyle{y = ax^{2} + bx + c}\) est le point \(\displaystyle{S}\) de coordonnées :

\(\displaystyle{S}\) \(\displaystyle{\left(- \frac{b}{2a} ; - \frac{\Delta}{4a} \right)}\)

Le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\) du trinôme \(\displaystyle{x^{2} + 2x - 8}\) est égal à :

\(\displaystyle{\Delta = b^{2} - 4ac = 4 - 4 \times 1 (- 8) = 36}\)
Le sommet de la parabole \(\displaystyle{C}\) est donc le point : \(\displaystyle{S}\) \(\displaystyle{(- 1 ; - 9)}\).
2 Déterminer un repère du plan dans lequel l’équation de la courbe \(\displaystyle{C}\) est : \(\displaystyle{Y = X^{2}}\).

On sait que le sommet de la parabole représentant la fonction carré dans un repère est aussi l'origine de ce repère. Si la parabole \(\displaystyle{C}\) est représentative de la fonction carré dans un autre repère, son sommet doit alors être l'origine de ce nouveau repère.

On considère donc le repère d'origine \(\displaystyle{S}\) : \(\displaystyle{(S ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} )}\). Les coordonnées de \(\displaystyle{S}\) dans ce nouveau repère sont donc : \(\displaystyle{(0 ; 0)}\).

On passe donc des coordonnées de \(\displaystyle{S}\) dans le repère initial à ses coordonnées dans le nouveau repère en ajoutant \(\displaystyle{1}\) en abscisse et \(\displaystyle{9}\) en ordonnée.

Soit \(\displaystyle{M}\) un point du plan, de coordonnées \(\displaystyle{(x ; y)}\) dans le repère initial \(\displaystyle{(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} )}\) et \(\displaystyle{(X ; Y)}\) dans le nouveau repère \(\displaystyle{(S ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} )}\).

On a alors :

  • \(\displaystyle{X = x + 1}\), ou encore \(\displaystyle{x = X - 1}\)
  • \(\displaystyle{Y = y + 9}\), ou encore \(\displaystyle{y = Y - 9}\)

Afin de vérifier si l'équation de \(\displaystyle{C}\) dans ce nouveau repère est bien : \(\displaystyle{Y = X^{2}}\), on remplace \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de l'équation initiale de \(\displaystyle{C}\) par leur expression respective en \(\displaystyle{X}\) et \(\displaystyle{Y}\).
L’équation : \(\displaystyle{y = x^{2} + 2x - 8}\) devient dans le repère \(\displaystyle{(S ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} )}\) :

\(\displaystyle{Y - 9 = (X - 1)^{2} + 2(X - 1) - 8}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow Y - 9 = X^{2} - 9}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow Y = X^{2}}\)

Dans le repère \(\displaystyle{(S ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} )}\), l’équation de la parabole \(\displaystyle{C}\) est donc : \(\displaystyle{Y = X^{2}}\).
3 Retrouver ce résultat en mettant \(\displaystyle{f(x)}\) sous sa forme canonique.
La forme canonique d'un trinôme du second degré \(\displaystyle{ax^{2} + bx + c}\) est :

\(\displaystyle{a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \frac{\Delta}{4a^{2}} \right]}\)

On en déduit :

\(\displaystyle{f(x) = (x + 1)^{2} - 9}\)

La courbe représentative de \(\displaystyle{f}\) est donc obtenue par translation de vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u} = - \overrightarrow{i} - \overrightarrow{9j}}\) de la courbe représentative de la fonction carré.

Or, par cette translation, l’image de l’origine \(\displaystyle{O}\) \(\displaystyle{(0 ; 0)}\), sommet de la parabole rerésentative de la fonction carré, est \(\displaystyle{S}\) \(\displaystyle{(- 1 ; - 9)}\).
Donc si \(\displaystyle{S}\) est l’origine du nouveau repère, l’équation \(\displaystyle{y = x^{2} + 2x - 8}\) devient \(\displaystyle{Y = X^{2}}\).
Se connecter
Ce compte existe mais n'est pas encore activé.

Activez votre compte puis connectez vous svp.

Recevoir le mail d'activation



Rester connecté

ou
S'inscrire







ou
Signaler une erreur