Chapitre 6

La trigonométrie

Chapitre 6
La trigonométrie

Enoncé Corrigé
1 Déterminer les coordonnées polaires du point \(\displaystyle{I}\), milieu du segment \(\displaystyle{[OM]}\).

Le point \(\displaystyle{I}\), milieu du segment \(\displaystyle{[OM]}\), vérifie :

  • \(\displaystyle{(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OI}) = (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OM}) = \frac{\pi}{4}}\)
  • \(\displaystyle{OI = \frac{1}{2} OM = 2}\)
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Les coordonnées polaires du point \(\displaystyle{I}\) dans le repère \(\displaystyle{(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})}\) sont donc : \(\displaystyle{\left(2 ; \frac{\pi}{4} \right)}\).
2 Déterminer les coordonnées polaires puis les coordonnées cartésiennes du point \(\displaystyle{P}\), tel que le triangle \(\displaystyle{OMP}\) soit rectangle isocèle direct en \(\displaystyle{P}\).

Pour déterminer les coordonnées polaires de \(\displaystyle{P}\), il faut calculer sa distance \(\displaystyle{r}\) et son angle \(\displaystyle{\theta}\).

Calcul de la distance \(\displaystyle{r}\) du point \(\displaystyle{P}\)

La distance \(\displaystyle{r}\) est égale à la longueur \(\displaystyle{OP}\).

Le triangle \(\displaystyle{OMP}\) est rectangle isocèle en \(\displaystyle{P}\). On a donc, d’après la relation de Pythagore :

\(\displaystyle{OP^{2} + PM^{2} = OM^{2}}\)

Or : \(\displaystyle{OM^{2} = 16}\) et \(\displaystyle{OP = PM}\)

D’où : \(\displaystyle{2OP^{2} = 16 }\)

Et finalement : \(\displaystyle{OP = r = 2\sqrt{ 2 }}\)

Calcul de l'angle \(\displaystyle{\theta}\) du point \(\displaystyle{P}\)

L'angle \(\displaystyle{\theta}\) est égal à l'angle \(\displaystyle{(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OP})}\).

On sait que : \(\displaystyle{(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OM}) = \frac{\pi}{4}}\)

Or, sachant que le triangle \(\displaystyle{OPM}\) est rectangle isocèle en \(\displaystyle{P}\), on a :

  • \(\displaystyle{(\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OP}) = (\overrightarrow{MP} ; \overrightarrow{MO})}\)
  • \(\displaystyle{(\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OP}) + (\overrightarrow{MP} ; \overrightarrow{MO}) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}}\)

Donc : \(\displaystyle{(\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OP}) = \frac{\pi}{4}}\)

Finalement, d'après la relation de Chasles pour les angles orientés :
\(\displaystyle{(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OP}) = (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OP}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} }\)

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Les coordonnées polaires du point \(\displaystyle{P}\) dans le repère \(\displaystyle{(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})}\) sont donc : \(\displaystyle{\left( 2\sqrt{ 2 } ; \frac{\pi}{2} \right)}\).

Pour obtenir enfin les coordonnées cartésiennes \(\displaystyle{(x ; y)}\) du point \(\displaystyle{P}\), on calcule :

  • \(\displaystyle{x = r \cos(\theta) = 2\sqrt{ 2 } \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0}\)
  • \(\displaystyle{y = r \sin(\theta) = 2\sqrt{ 2 } \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2\sqrt{ 2 }}\)
Les coordonnées cartésiennes du point \(\displaystyle{P}\) sont finalement : \(\displaystyle{\left(0 ; 2\sqrt{ 2 } \right)}\).
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