Chapitre 8

Les équations de droites

Chapitre 8
Les équations de droites

Enoncé Corrigé
1 Déterminer, en fonction de \(\displaystyle{n}\), une équation cartésienne de la droite \(\displaystyle{D_{n}}\) passant par les points \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{N}\).
La droite \(\displaystyle{D_{n}}\) passant par les points \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{N}\), on en déduit que le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AN}}\) est un vecteur directeur de la droite \(\displaystyle{D_{n}}\).

Ses coordonnées sont : \(\displaystyle{\overrightarrow{AN}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} 2-3 \cr n-2 \end{pmatrix}}\)

Soit : \(\displaystyle{\overrightarrow{AN}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} -1 \cr n-2 \end{pmatrix}}\)

On sait que l'équation cartésienne d'une droite est de la forme : \(\displaystyle{ax + by + c = 0}\), et que cette droite admet alors le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} -b \cr a \end{pmatrix}}\) pour vecteur directeur.

On en déduit que l’équation cartésienne de la droite \(\displaystyle{D_{n}}\) est de la forme : \(\displaystyle{(n - 2)x + y + c = 0 }\)

On peut enfin déterminer le réel \(\displaystyle{c}\), en fonction de \(\displaystyle{n}\), en remplaçant \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) par les coordonnées du point \(\displaystyle{A}\), qui appartient à la droite \(\displaystyle{D_{n}}\) :

\(\displaystyle{(n - 2) 3 + 2 + c = 0 }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow c = 4 - 3n}\)
L’équation cartésienne de la droite \(\displaystyle{D_{n}}\) est donc : \(\displaystyle{(n - 2)x + y + 4 - 3n = 0}\)
2 Montrer que \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{R}}\), la droite \(\displaystyle{D_{n}}\) passe par un point fixe du plan, dont on déterminera les coordonnées.

Peu importe le réel \(\displaystyle{n}\), toutes les droites \(\displaystyle{D_{n}}\) passent par le point \(\displaystyle{A}\), dont les coordonnées ne dépendent effectivement pas de \(\displaystyle{n}\).

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Donc toutes les droites \(\displaystyle{D_{n}}\) passent par le point \(\displaystyle{A}\), qui est fixe c'est-à-dire indépendant de \(\displaystyle{n}\).
3 Calculer la valeur de \(\displaystyle{n}\) pour laquelle la droite \(\displaystyle{D_{n}}\) est perpendiculaire à la droite \(\displaystyle{\Delta}\) d’équation : \(\displaystyle{2x + 3y + 1 = 0}\)

L'équation cartésienne de la droite \(\displaystyle{\Delta}\) étant \(\displaystyle{2x + 3y + 1 = 0}\), on en déduit qu'un vecteur directeur de \(\displaystyle{\Delta}\) est :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} -3 \cr 2 \end{pmatrix}}\)

Comme vu précédemment, on sait également que \(\displaystyle{\overrightarrow{AN}}\) est un vecteur directeur de la droite \(\displaystyle{D_{n}}\).

Les droites \(\displaystyle{D_{n}}\) et \(\displaystyle{\Delta}\) sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Or, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

On en déduit que les droites \(\displaystyle{D_{n}}\) et \(\displaystyle{\Delta}\) sont perpendiculaires si et seulement si :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{AN} = 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow (- 3) (- 1) + 2 (n - 2) = 0 }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 3 + 2n - 4 = 0 }\)

Soit : \(\displaystyle{n = \frac{1}{2}}\)

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La droite \(\displaystyle{\Delta}\) est donc perpendiculaire à la droite \(\displaystyle{D_{\frac{1}{2}}}\).
4 Déterminer \(\displaystyle{n}\) pour que la droite \(\displaystyle{D_{n}}\) soit parallèle à l’axe des abscisses.

Si \(\displaystyle{D_{n}}\) est parallèle à l'axe des abscisses, elle est donc horizontale.

Sachant que \(\displaystyle{D_{n}}\) passe par les points \(\displaystyle{A}\) \(\displaystyle{(3 ; 2)}\) et \(\displaystyle{N}\) \(\displaystyle{(2 ; n)}\), \(\displaystyle{D_{n}}\) est horizontale uniquement dans le cas où l'ordonnée du point \(\displaystyle{N}\) est égale à celle du point \(\displaystyle{A}\).

On en déduit que seule \(\displaystyle{D_{2}}\) est parallèle à l'axe des abscisses.

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La droite \(\displaystyle{D_{2}}\) est donc parallèle à l’axe des abscisses.
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