Chapitre 10

Les statistiques

Chapitre 10
Les statistiques

Enoncé Corrigé
1 Quelle est la taille moyenne des bébés nés dans la clinique \(\displaystyle{A}\) au cours de cette période ?
On cherche la moyenne \(\displaystyle{m}\) de la série des tailles de la clinique \(\displaystyle{A}\). En désignant par \(\displaystyle{x_{i}}\) les différentes tailles et par \(\displaystyle{n_{i}}\) le nombre de bébés correspondant à chaque taille, on a :

\(\displaystyle{m = \frac{ \sum n_{i} x_{i} }{49}}\)

\(\displaystyle{m = \frac{ 3 \times 45 + 5 \times 46,5 + 47,5 + 9 \times 48 +... + 4 \times 54 + 7 \times 55 }{49} \approx 50,3}\)
La taille moyenne des bébés nés dans la clinique \(\displaystyle{A}\) au cours de cette période est donc de \(\displaystyle{50,3}\) cm.
2 Quelle est la taille médiane des bébés nés dans la clinique \(\displaystyle{A}\) au cours de cette période ?

Sachant que l'effectif total de la série \(\displaystyle{A}\) est égal à \(\displaystyle{49}\), sa médiane \(\displaystyle{M}\) correspond à la \(\displaystyle{\frac{49}{2} = 24,5}\) donc \(\displaystyle{25^{\text{ème}}}\) taille (dans l'ordre croissant des tailles).

Pour pouvoir déterminer \(\displaystyle{M}\), il faut donc compléter au préalable le tableau avec les effectifs cumulés croissants :

Tailles \(\displaystyle{45}\) \(\displaystyle{46,5}\) \(\displaystyle{47,5}\) \(\displaystyle{48}\) \(\displaystyle{48,5}\) \(\displaystyle{49,5}\) \(\displaystyle{50}\) \(\displaystyle{52}\) \(\displaystyle{53}\) \(\displaystyle{54}\) \(\displaystyle{55}\)
Effectifs\(\displaystyle{3}\)\(\displaystyle{5}\)\(\displaystyle{1}\)\(\displaystyle{9}\)\(\displaystyle{3}\)\(\displaystyle{4}\)\(\displaystyle{2}\)\(\displaystyle{8}\)\(\displaystyle{3}\)\(\displaystyle{4}\)\(\displaystyle{7}\)
Effectifs cumulés\(\displaystyle{3}\)\(\displaystyle{8}\)\(\displaystyle{9}\)\(\displaystyle{18}\)\(\displaystyle{21}\)\(\displaystyle{25}\)\(\displaystyle{27}\)\(\displaystyle{35}\)\(\displaystyle{38}\)\(\displaystyle{42}\)\(\displaystyle{49}\)

On remarque ainsi que la \(\displaystyle{25^{\text{ème}}}\) valeur de la série correspond à une taille de \(\displaystyle{49,5}\) cm.

La taille médiane des bébés nés dans la clinique \(\displaystyle{A}\) au cours de cette période est donc égale à \(\displaystyle{49,5}\) cm.
3 Calculer le premier et le troisième quartile de la taille des bébés nés dans la clinique \(\displaystyle{A}\) au cours de cette période.

Le premier quartile \(\displaystyle{Q_{1}}\) de la série \(\displaystyle{A}\) correspond à la \(\displaystyle{\frac{49}{4} = 12,25}\) donc \(\displaystyle{13^{\text{ème}}}\) taille (dans l'ordre croissant des tailles).

De même, le troisième quartile \(\displaystyle{Q_{3}}\) de la série \(\displaystyle{A}\) correspond à la \(\displaystyle{49 \times \frac{3}{4} = 36,75}\) donc \(\displaystyle{37^{\text{ème}}}\) taille (dans l'ordre croissant des tailles).

Tailles \(\displaystyle{45}\) \(\displaystyle{46,5}\) \(\displaystyle{47,5}\) \(\displaystyle{48}\) \(\displaystyle{48,5}\) \(\displaystyle{49,5}\) \(\displaystyle{50}\) \(\displaystyle{52}\) \(\displaystyle{53}\) \(\displaystyle{54}\) \(\displaystyle{55}\)
Effectifs\(\displaystyle{3}\)\(\displaystyle{5}\)\(\displaystyle{1}\)\(\displaystyle{9}\)\(\displaystyle{3}\)\(\displaystyle{4}\)\(\displaystyle{2}\)\(\displaystyle{8}\)\(\displaystyle{3}\)\(\displaystyle{4}\)\(\displaystyle{7}\)
Effectifs cumulés\(\displaystyle{3}\)\(\displaystyle{8}\)\(\displaystyle{9}\)\(\displaystyle{18}\)\(\displaystyle{21}\)\(\displaystyle{25}\)\(\displaystyle{27}\)\(\displaystyle{35}\)\(\displaystyle{38}\)\(\displaystyle{42}\)\(\displaystyle{49}\)

On remarque que :

  • la \(\displaystyle{13^{\text{ème}}}\) valeur de la série correspond à une taille de \(\displaystyle{48}\) cm ;
  • la \(\displaystyle{37^{\text{ème}}}\) valeur de la série correspond à une taille de \(\displaystyle{53}\) cm.
On en déduit que \(\displaystyle{Q_{1} = 48}\) cm et \(\displaystyle{Q_{3} = 53}\) cm.
4 Construire le diagramme en boîte représentant la taille des bébés nés dans la clinique \(\displaystyle{A}\) au cours de cette période.

Concernant les tailles des bébés nés dans la clinique \(\displaystyle{A}\), on sait que :

  • la taille minimum est \(\displaystyle{45}\) cm ;
  • la taille maximum est \(\displaystyle{55}\) cm ;
  • le médiane vaut \(\displaystyle{49,5}\) cm ;
  • le premier quartile vaut \(\displaystyle{48}\) cm ;
  • le troisième quartile vaut \(\displaystyle{53}\) cm.

On peut donc construire le diagramme en boîte correspondant :

1SESL01270-01.PNG
5 Sur le même graphique, construire le diagramme en boîte représentant la taille des bébés nés dans la clinique \(\displaystyle{B}\) au cours de cette période : que peut-on en déduire ?

De la même manière, les informations fournies permettent de construire le diagramme en boîte correspondant à la série \(\displaystyle{B}\) :

1SESL01270-02.PNG
Par comparaison des deux diagrammes, les bébés nés dans la clinique \(\displaystyle{B}\) sont en général plus petits que ceux nés dans la clinique \(\displaystyle{A}\).
6 A partir de l'ensemble des données fournies précédemment, la ville affirme que la moitié des bébés nés au cours du mois d'avril 2009 dans ses deux cliniques est de taille au moins égale à \(\displaystyle{49,6}\) cm. Quelle confusion semble-t-elle faire ?
Ne connaissant pas la répartition par taille des naissances dans la clinique \(\displaystyle{B}\) au cours de cette période, on ne peut pas déterminer la médiane de la taille de l'ensemble des nouveaux-nés.

En revanche, on peut calculer la taille moyenne des bébés nés au cours de cette période dans la ville, qui est égale à la moyenne des moyennes des tailles relevées dans chaque clinique :

\(\displaystyle{\frac{49 \times 50,3 + 52 \times 49}{49 + 52} \approx 49,6}\) cm
Il semble que la ville confonde la médiane et la moyenne. En effet, on peut déduire des statistiques fournies que la taille moyenne des bébés nés au cours de cette période dans la ville est égale à \(\displaystyle{49,6}\) cm. Par contre, ces informations ne sont pas suffisantes pour déterminer la médiane.
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