Chapitre 11

Les probabilités

Chapitre 11
Les probabilités

IProbabilité sur un ensemble fini

AL'environnement probabiliste

Soit \(\displaystyle{\Omega}\) l'univers d'une expérience aléatoire.
On appelle événements élémentaires tous les résultats \(\displaystyle{\omega_{1}, \omega_{2},..., \omega_{n}}\) composant l'ensemble \(\displaystyle{\Omega}\).
Un événement est une partie de \(\displaystyle{\Omega}\), c'est-à-dire une réunion de certains événements élémentaires.
Soit un événement \(\displaystyle{A}\).
La probabilité de \(\displaystyle{A}\), notée \(\displaystyle{P(A)}\), est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent l'événement \(\displaystyle{A}\).
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  • \(\displaystyle{P(\Omega) = 1}\)
  • \(\displaystyle{P(\varnothing) = 0}\)

BLa réunion d'événements

Soient \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) deux événements incompatibles :
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
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Soient \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) deux événements :
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
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CL'événement contraire

Soit un événement \(\displaystyle{A}\).
La probabilité de son événement contraire, noté \(\displaystyle{\overline{A}}\), est égale à :
$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
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IICombinatoire

ALes combinaisons et coefficients binomiaux

Soient un ensemble \(\displaystyle{E}\) de cardinal \(\displaystyle{n}\) (\(\displaystyle{\in \mathbb{N}^{*}}\)) et \(\displaystyle{p}\) un entier naturel inférieur ou égal à \(\displaystyle{n}\).
Le nombre de parties de \(\displaystyle{E}\) possédant \(\displaystyle{p}\) éléments, appelées combinaisons de \(\displaystyle{p}\) éléments, est égal au coefficient binomial noté :
$$ \binom{n}{p} $$

Soient \(\displaystyle{n}\) un entier naturel non nul et \(\displaystyle{p}\) un entier naturel inférieur ou égal à \(\displaystyle{n}\).

  • \(\displaystyle{\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1}\)
  • \(\displaystyle{\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n}\)
  • \(\displaystyle{\binom{n}{2} = \frac{n (n - 1)}{2}}\)
  • \(\displaystyle{\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}}\)
  • Formule de Pascal : si \(\displaystyle{p \lt n}\), \(\displaystyle{\binom{n+1}{p+1} = \binom{n}{p} + \binom{n}{p+1}}\)

BLe triangle de Pascal

La formule de Pascal permet de construire le triangle de Pascal, dont la ligne \(\displaystyle{n}\) recense successivement les valeurs :

$$ \binom{n}{0} , \binom{n}{1} , \binom{n}{2} , ... , \binom{n}{n}$$
\(\displaystyle{n \backslash p}\)\(\displaystyle{0}\)\(\displaystyle{1}\)\(\displaystyle{2}\)\(\displaystyle{3}\)\(\displaystyle{4}\)...
\(\displaystyle{0}\)\(\displaystyle{1}\)
\(\displaystyle{1}\)\(\displaystyle{1}\)\(\displaystyle{1}\)
\(\displaystyle{2}\)\(\displaystyle{1}\)\(\displaystyle{2}\)\(\displaystyle{1}\)
\(\displaystyle{3}\)\(\displaystyle{1}\)\(\displaystyle{3}\)\(\displaystyle{3}\)\(\displaystyle{1}\)
\(\displaystyle{4}\)\(\displaystyle{1}\)\(\displaystyle{4}\)\(\displaystyle{6}\)\(\displaystyle{4}\)\(\displaystyle{1}\)
.....................

IIILes lois de probabilité discrètes

ALes variables aléatoires

Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l'univers d'une expérience aléatoire.
Soit \(\displaystyle{X}\) une variable aléatoire prenant les valeurs : \(\displaystyle{X(\Omega) = \{x_{1}, x_{2},..., x_{n}\}}\).
La loi de probabilité de \(\displaystyle{X}\) associe à chaque réel \(\displaystyle{x_{i}}\) la probabilité \(\displaystyle{P(X = x_{i})}\).

On présente en général une loi de probabilité à l'aide d'un tableau.

\(\displaystyle{x_{i}}\)\(\displaystyle{x_{1}}\)\(\displaystyle{x_{2}}\)...\(\displaystyle{x_{n}}\)
\(\displaystyle{P(X = x_{i})}\)\(\displaystyle{P(X = x_{1})}\)\(\displaystyle{P(X = x_{2})}\)...\(\displaystyle{P(X = x_{n})}\)
\(\displaystyle{P(X = x_{1}) + P(X = x_{2}) +... + P(X = x_{n}) = 1}\)
L'espérance d'une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) est le réel :
$$E(X) = \sum_{i=0}^{n} x_{i} P(X = x_{i}) $$
Soit :
$$E(X) = x_{1} P(X = x_{1}) + x_{2} P(X = x_{2}) +... + x_{n} P(X = x_{n})$$
Pour tous réels \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) :
$$E(aX + b) = aE(X) + b$$
La variance d'une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) est le réel :
$$V(X) = \sum_{i=0}^{n} [x_{i} - E(X)]^{2} P(X = x_{i}) $$
Pour tous réels \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) :
$$V(aX + b) = a^{2} V(X)$$
L'écart-type d'une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) est le réel :
$$\sigma(X) = \sqrt{ V(X) } $$

BLa loi de Bernoulli

Soit un réel \(\displaystyle{p}\) compris entre \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{1}\).
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles :

  • succès, de probabilité \(\displaystyle{p}\)
  • échec, de probabilité \(\displaystyle{1 - p}\).

Soit un réel \(\displaystyle{p}\) compris entre \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{1}\).
Une variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\displaystyle{p}\) si :

  • \(\displaystyle{X(\Omega) = \{ 0 ; 1 \}}\)
  • \(\displaystyle{P(X = 1) = p}\) et \(\displaystyle{P(X = 0) = 1 - p}\)
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\displaystyle{p}\), on a :
$$E(X) = p$$ $$V(X) = p(1 - p)$$

CLa loi binomiale

Soit un réel \(\displaystyle{p}\) compris entre \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{1}\) et \(\displaystyle{n}\) un entier naturel non nul.
Une variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\), notée \(\displaystyle{B(n ; p)}\), si :

  • \(\displaystyle{X(\Omega) = [\![0 ; n]\!]}\)
  • \(\displaystyle{\forall k \in [\![0 ; n]\!] \text{ , } P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n-k}}\)
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\), on a :
$$E(X) = np$$ $$V(X) = np(1 - p)$$
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