Chapitre 2

Les fonctions usuelles

Chapitre 2
Les fonctions usuelles

ILes fonctions affines

ADéfinition

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux réels.
Une fonction affine \(\displaystyle{f}\) s'exprime, pour tout réel \(\displaystyle{x}\), par :
$$f(x) = ax + b$$

BLe sens de variation

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\), \(\displaystyle{f}\) est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
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Si \(\displaystyle{a \lt 0}\), \(\displaystyle{f}\) est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
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CLa courbe représentative

  • La courbe représentative de la fonction affine est la droite d'équation \(\displaystyle{y = ax + b}\).
  • Si \(\displaystyle{a = 0}\), la fonction est constante égale à \(\displaystyle{b}\), et sa droite représentative est horizontale.
  • Si \(\displaystyle{b = 0}\), la fonction est dite linéaire, et sa droite représentative passe par l'origine du repère.

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\)

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Si \(\displaystyle{a \lt 0}\)

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Si \(\displaystyle{a = 0}\)

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IILa fonction carré

ADéfinition

La fonction carré \(\displaystyle{f}\), définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), est égale à :
$$f(x) = x^{2}$$

BLe sens de variation

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CLa courbe représentative

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine \(\displaystyle{O}\) du repère.
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IIILa fonction inverse

ADéfinition

La fonction inverse \(\displaystyle{f}\), définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\), est égale à :
$$f(x) = \frac{1}{x}$$

BLe sens de variation

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CLa courbe représentative

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole dont le centre est l'origine \(\displaystyle{O}\) du repère.
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IVLes polynômes du second degré

ADéfinition

Soient \(\displaystyle{a}\) un réel non nul, \(\displaystyle{\alpha}\) et \(\displaystyle{\beta}\) deux réels.
Une fonction polynôme du second degré \(\displaystyle{f}\) s'exprime, pour tout réel \(\displaystyle{x}\), par :
$$f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta$$
Cette expression est la forme canonique du polynôme du second degré.

BLe sens de variation

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\)

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Si \(\displaystyle{a \lt 0}\)

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CLa courbe représentative

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole de sommet \(\displaystyle{S \text{ } (\alpha ; \beta)}\).

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\)

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Si \(\displaystyle{a \lt 0}\)

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VLes enchaînements

APrincipe

Décrire un enchaînement de fonctions permettant de passer de \(\displaystyle{x}\) à \(\displaystyle{f(x)}\) revient à détailler l’ensemble des opérations successives à appliquer sur \(\displaystyle{x}\) pour obtenir \(\displaystyle{f(x)}\). On construit ainsi par étapes la fonction finale à partir de fonctions de référence.
La fonction \(\displaystyle{f}\), définie pour tout réel \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f(x) = (x + 1)^2 - 5}\), est construite par enchaînement de la fonction affine \(\displaystyle{x \longmapsto x+1}\), de la fonction carrée, et de la fonction affine \(\displaystyle{x \longmapsto x-5}\) :

\(\displaystyle{x \longmapsto x\color{Blue}{+1} \longmapsto (x+1)^{\color{Blue}{2}} \longmapsto (x + 1)^2 \color{Blue}{- 5}}\)

BLes fonctions homographiques

Soient \(\displaystyle{a}\) un réel non nul, \(\displaystyle{\alpha}\) et \(\displaystyle{\beta}\) deux réels.
Une fonction homographique \(\displaystyle{f}\) s'exprime, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) différent de \(\displaystyle{\alpha}\), par :
$$ f(x) = \frac{a}{x - \alpha} + \beta $$
On peut construire une fonction homographique à partir d'un enchaînement de fonctions :
$$ x \longmapsto x - \alpha \longmapsto \frac{1}{x - \alpha} \longmapsto \frac{a}{x - \alpha} \longmapsto \frac{a}{x - \alpha} + \beta $$
La courbe représentative d'une fonction homographique est une hyperbole de centre \(\displaystyle{C \text{ } (\alpha ; \beta)}\).

Le sens de variation d'une fonction homographique dépend du signe de \(\displaystyle{a}\) :

  • si \(\displaystyle{a \gt 0}\), alors \(\displaystyle{f}\) est décroissante sur \(\displaystyle{]- \infty ; \alpha[}\) et sur \(\displaystyle{]\alpha ; + \infty[}\) ;
  • si \(\displaystyle{a \lt 0}\), alors \(\displaystyle{f}\) est croissante sur \(\displaystyle{]- \infty ; \alpha[}\) et sur \(\displaystyle{]\alpha ; + \infty[}\).
La fonction \(\displaystyle{f}\), définie pour tout réel \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x+2} + 9}\), est une fonction homographique, avec \(\displaystyle{a=1}\), \(\displaystyle{\alpha=-2}\) et \(\displaystyle{\beta = 9}\).
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