Chapitre 2

Les fonctions usuelles

Chapitre 2
Les fonctions usuelles

Enoncé Corrigé
1 \(\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x} - 7}\)

La fonction \(\displaystyle{f}\) existe si et seulement si : \(\displaystyle{x \neq 0}\)

Pour tout réel \(\displaystyle{x \neq 0}\), on a :

\(\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x} - 7}\)

Soit : \(\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x - \color{Red}{0}} \color{Red}{-7}}\)

La fonction \(\displaystyle{f}\) est donc homographique, et sa représentation est une hyperbole de centre \(\displaystyle{(0 ; - 7)}\).

Sachant que son coefficient \(\displaystyle{a}\) est égal à \(\displaystyle{1}\) (\(\displaystyle{\gt 0}\)), on en déduit que \(\displaystyle{f}\) est :

  • décroissante sur \(\displaystyle{]- \infty ; 0[}\)
  • décroissante sur \(\displaystyle{]0 ; + \infty[}\).

On en déduit le tableau de variation de \(\displaystyle{f}\) suivant :

201267-01.PNG

Et la courbe représentative de \(\displaystyle{f}\) a pour allure :

201267-02.PNG
2 \(\displaystyle{g(x) = \frac{1}{5 - x}}\)

La fonction \(\displaystyle{g}\) existe si et seulement si : \(\displaystyle{x \neq 5}\)

Pour tout réel \(\displaystyle{x \neq 5}\), on a :

\(\displaystyle{g(x) = \frac{1}{5 - x}}\)

Soit : \(\displaystyle{g(x) = - \frac{1}{x - \color{Red}{5}} + \color{Red}{0}}\)

La fonction \(\displaystyle{g}\) est donc homographique, et sa représentation est une hyperbole de centre \(\displaystyle{(5 ; - 0)}\).

Sachant que son coefficient \(\displaystyle{a}\) est égal à \(\displaystyle{- 1}\) (\(\displaystyle{\lt 0}\)), on en déduit que \(\displaystyle{g}\) est :

  • croissante sur \(\displaystyle{]- \infty ; 5[}\)
  • croissante sur \(\displaystyle{]5 ; + \infty[}\).

On en déduit le tableau de variation de \(\displaystyle{g}\) suivant :

201267-03.PNG

Et la courbe représentative de \(\displaystyle{g}\) a pour allure :

201267-04.PNG
3 \(\displaystyle{h(x) = - 4 - \frac{1}{x+1}}\)

La fonction \(\displaystyle{h}\) existe si et seulement si : \(\displaystyle{x \neq - 1}\)

Pour tout réel \(\displaystyle{x \neq - 1}\), on a :

\(\displaystyle{h(x) = - 4 - \frac{1}{x+1}}\)

Soit : \(\displaystyle{h(x) = \color{Red}{-4} - \frac{1}{x - (\color{Red}{-1})}}\)

La fonction \(\displaystyle{h}\) est donc homographique, et sa représentation est une hyperbole de centre \(\displaystyle{(- 1 ; - 4)}\).

Sachant que son coefficient \(\displaystyle{a}\) est égal à \(\displaystyle{- 1}\) (\(\displaystyle{\lt 0}\)), on en déduit que \(\displaystyle{h}\) est :

  • croissante sur \(\displaystyle{]- \infty ; - 1[}\)
  • croissante sur \(\displaystyle{]- 1 ; + \infty[}\).

On en déduit le tableau de variation de \(\displaystyle{h}\) suivant :

201267-05.PNG

Et la courbe représentative de \(\displaystyle{h}\) a pour allure :

201267-06.PNG
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