Chapitre 9

Les statistiques

Chapitre 9
Les statistiques

Enoncé Corrigé
1 Construire un histogramme de cette série.

L'aire des rectangles d'un histogramme étant égale à la fréquence (ou à l'effectif) de la classe correspondante, il est pratique de prendre : \(\displaystyle{1}\) carreau = \(\displaystyle{1\%}\).

En convenant qu'un carreau en abscisse est égal à \(\displaystyle{5}\) ans, on a par exemple pour le rectangle représentant la classe \(\displaystyle{[10 ; 20[}\) :

  • \(\displaystyle{\frac{20 - 10}{5} = 2}\) carreaux en longueur (amplitude de l'intervalle divisée par \(\displaystyle{5}\)) ;
  • Et le nombre de carreaux \(\displaystyle{L}\) en largeur (hauteur du rectangle) doit vérifier :
    \(\displaystyle{2 \times L = 35}\) ; donc \(\displaystyle{L = 17,5}\) carreaux

En procédant de la même manière pour tous les intervalles, on obtient ainsi l'histogramme suivant :

201216-01.PNG
2 Tracer la courbe des fréquences cumulées.
Déterminer graphiquement la médiane \(\displaystyle{m}\), le premier quartile \(\displaystyle{Q_{1}}\), et le dernier quartile \(\displaystyle{Q_{3}}\) de cette série.

Pour pouvoir tracer la courbe, il faut au préalable calculer les fréquences cumulées de la série :

Age (années)\(\displaystyle{[0 ; 10[}\)\(\displaystyle{[10 ; 20[}\)\(\displaystyle{[20 ; 30[}\)\(\displaystyle{[30 ; 45[}\)\(\displaystyle{[45 ; 60[}\)\(\displaystyle{[60 ; 80]}\)
Fréquences cumulées\(\displaystyle{30\%}\)\(\displaystyle{65\%}\)\(\displaystyle{83\%}\)\(\displaystyle{95\%}\)\(\displaystyle{98\%}\)\(\displaystyle{100\%}\)
Détermination graphique de la médiane

Pour déterminer graphiquement la médiane d'une série regroupée en classes grâce à la courbe des fréquences cumulées, il suffit de partir de \(\displaystyle{50\%}\) en ordonnée (la médiane étant la valeur qui divise l'effectif en deux populations de même taille : c'est donc la valeur correspondant à la fréquence cumulée \(\displaystyle{50\%}\)) et de repérer l'abscisse du point de la courbe qui correspond à cette ordonnée.

Détermination graphique du premier quartile

On procède de la même manière, mais à partir de l'ordonnée \(\displaystyle{25\%}\) (un quart de l'effectif, soit \(\displaystyle{25\%}\)).

Détermination graphique du troisième quartile

On procède de la même manière, mais à partir de l'ordonnée \(\displaystyle{75\%}\) (trois quarts de l'effectif, soit \(\displaystyle{75\%}\)).

201216-02.PNG

On en déduit donc graphiquement que :

  • \(\displaystyle{m \approx 16}\)
  • \(\displaystyle{Q_{1} \approx 8}\)
  • \(\displaystyle{Q_{3} \approx 26}\)
3 Calculer la valeur de la médiane \(\displaystyle{m}\) par interpolation linéaire.
Soit \(\displaystyle{M}\) le point d'ordonnée \(\displaystyle{50\%}\) (ou \(\displaystyle{0,5}\) pour faciliter les calculs) appartenant à la courbe. L'abscisse de ce point, qui est la médiane de la série, appartient à la classe \(\displaystyle{[10 ; 20[}\) et on a donc : \(\displaystyle{M}\) \(\displaystyle{(m ; 0,5)}\).

\(\displaystyle{M}\) appartient donc au segment \(\displaystyle{[AB]}\), avec \(\displaystyle{A}\) \(\displaystyle{(10 ; 0,3)}\) et \(\displaystyle{B}\) \(\displaystyle{(20 ; 0,65)}\). Les accroissements entre \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{M}\) et entre \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) étant égaux, on a :

\(\displaystyle{\frac{y_{M} - y_{A}}{x_{M} - x_{A}} = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{0,5 - 0,3}{m - 10} = \frac{0,65 - 0,3}{20 - 10}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{0,2}{m - 10} = \frac{0,35}{10} \Leftrightarrow 0,2 = 0,035 (m - 10)}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow m = \frac{0,2}{0,035} + 10}\)
Donc \(\displaystyle{m \approx 15,7}\).
Ce qui correspond à la lecture graphique faite précédemment.
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