Chapitre 6

La fonction logarithme népérien

Chapitre 6
La fonction logarithme népérien

Enoncé Corrigé
On considère la suite \(\displaystyle{\left(S_{n}\right)}\) définie pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) non nul par :
$$S_{n} = \ln\left( \frac{1}{2} \right) + \ln\left( \frac{2}{3} \right) + \ln\left( \frac{3}{4} \right) +... + \ln\left( \frac{n}{n + 1} \right) $$ Déterminer une expression simplifiée de \(\displaystyle{S_{n}}\).

Pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) non nul :

\(\displaystyle{S_{n} = \ln\left( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times... \times \frac{n}{n + 1} \right)}\)

On remarque que les numérateurs et dénominateurs des quotients \(\displaystyle{\frac{k}{k + 1}}\) se simplifient deux à deux :

\(\displaystyle{S_{n} = \ln\left( \frac{1}{\color{Red}{2}} \times \frac{\color{Red}{2}}{\color{Green}{3}} \times \frac{\color{Green}{3}}{\color{Orange}{4}} \times... \times \frac{\color{Blue}{n}}{n + 1} \right)}\)

On obtient finalement :

\(\displaystyle{S_{n} = \ln\left( \frac{1}{n + 1} \right) = - \ln(n + 1)}\)

Finalement, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) non nul : \(\displaystyle{S_{n} = - \ln(n + 1)}\)
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