Chapitre 3

Les diviseurs et les multiples

Chapitre 3
Les diviseurs et les multiples

ILes diviseurs

ALes diviseurs d'un entier

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux entiers.
Le nombre \(\displaystyle{b}\) est un diviseur de \(\displaystyle{a}\) signifie que \(\displaystyle{a}\) est divisible par \(\displaystyle{b}\), c'est-à-dire que le reste de la division euclidienne de \(\displaystyle{a}\) par \(\displaystyle{b}\) est nul.
En appelant \(\displaystyle{q}\) le quotient de la division euclidienne, on a alors la relation \(\displaystyle{a = bq}\).
\(\displaystyle{3}\) est un diviseur de \(\displaystyle{6}\), car : \(\displaystyle{6 = 3 \times 2}\)

BLes nombres premiers

Un nombre premier est un nombre entier différent de \(\displaystyle{1}\) qui n'est divisible que par \(\displaystyle{1}\) et lui-même.
Les nombres : \(\displaystyle{2}\), \(\displaystyle{3}\), \(\displaystyle{5}\), \(\displaystyle{7}\), \(\displaystyle{11}\), \(\displaystyle{13}\), \(\displaystyle{17}\), \(\displaystyle{19}\)... sont premiers.
Tout nombre entier peut s'écrire de manière unique comme une décomposition en produit de facteurs premiers.
La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre \(\displaystyle{45}\) est :

\(\displaystyle{45 = 5 \times 3^{2}}\)

En effet, les nombres \(\displaystyle{5}\) et \(\displaystyle{3}\) sont premiers.

CLes diviseurs communs à deux nombres

Soient \(\displaystyle{a}\), \(\displaystyle{b}\) et \(\displaystyle{d}\) trois entiers.
Le nombre \(\displaystyle{d}\) est un diviseur commun à \(\displaystyle{a}\) et à \(\displaystyle{b}\) s'il est un diviseur de \(\displaystyle{a}\) et de \(\displaystyle{b}\).
On recherche les diviseurs communs à \(\displaystyle{12}\) et \(\displaystyle{30}\).

Les diviseurs de \(\displaystyle{12}\) sont : \(\displaystyle{\color{Red}{1}}\), \(\displaystyle{\color{Red}{2}}\), \(\displaystyle{\color{Red}{3}}\), \(\displaystyle{4}\), \(\displaystyle{\color{Red}{6}}\), \(\displaystyle{12}\)
Les diviseurs de \(\displaystyle{30}\) sont : \(\displaystyle{\color{Red}{1}}\), \(\displaystyle{\color{Red}{2}}\), \(\displaystyle{\color{Red}{3}}\), \(\displaystyle{5}\), \(\displaystyle{\color{Red}{6}}\), \(\displaystyle{10}\), \(\displaystyle{15}\), \(\displaystyle{30}\)

Les diviseurs communs à \(\displaystyle{12}\) et \(\displaystyle{30}\) sont donc les nombres : \(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{2}\), \(\displaystyle{3}\) et \(\displaystyle{6}\).
  • Si \(\displaystyle{d}\) est un diviseur commun à \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\), alors \(\displaystyle{d}\) est un diviseur de \(\displaystyle{a - b}\) (ou \(\displaystyle{b - a}\)).
  • Si \(\displaystyle{d}\) est un diviseur commun à \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) (avec \(\displaystyle{a \gt b}\)), alors \(\displaystyle{d}\) est un diviseur du reste de la division euclidienne de \(\displaystyle{a}\) par \(\displaystyle{b}\).

DLe PGCD et les fractions irréductibles

Le plus grand diviseur commun à \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) est noté PGCD(\(\displaystyle{a ; b}\)).
D'après l'exemple précédent : PGCD(\(\displaystyle{12 ; 30}\)) \(\displaystyle{= 6}\)
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à \(\displaystyle{1}\).
Une fraction est irréductible quand le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
Pour obtenir une fraction irréductible, on simplifie le quotient au maximum, jusqu'à ce que numérateur et dénominateur n'aient plus de diviseur commun.

IILes multiples

ALes multiples d'un entier

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux entiers.
Le nombre \(\displaystyle{a}\) est un multiple de \(\displaystyle{b}\) signifie que \(\displaystyle{b}\) est un diviseur de \(\displaystyle{a}\).
Tout nombre admet une infinité de multiples.
\(\displaystyle{6}\) est un multiple de \(\displaystyle{3}\), car \(\displaystyle{3}\) est un diviseur de \(\displaystyle{6}\).

BLes multiples communs à deux nombres

Soient \(\displaystyle{a}\), \(\displaystyle{b}\) et \(\displaystyle{m}\) trois entiers.
Le nombre \(\displaystyle{m}\) est un multiple commun à \(\displaystyle{a}\) et à \(\displaystyle{b}\) s'il est divisible par \(\displaystyle{a}\) et par \(\displaystyle{b}\).
On recherche des multiples communs à \(\displaystyle{4}\) et \(\displaystyle{14}\).

Les premiers multiples de \(\displaystyle{4}\) sont : \(\displaystyle{\color{Red}{0}}\), \(\displaystyle{4}\), \(\displaystyle{8}\), \(\displaystyle{12}\), \(\displaystyle{16}\), \(\displaystyle{20}\), \(\displaystyle{24}\), \(\displaystyle{\color{Red}{28}}\)...
Les premiers multiples de \(\displaystyle{14}\) sont : \(\displaystyle{\color{Red}{0}}\), \(\displaystyle{14}\), \(\displaystyle{\color{Red}{28}}\), \(\displaystyle{42}\)...

Les nombre \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{28}\) sont des multiples communs à \(\displaystyle{4}\) et \(\displaystyle{14}\).

CLe PPCM et le plus petit dénominateur commun

Le plus petit multiple commun non nul à \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) est noté PPCM(\(\displaystyle{a ; b}\)).
Le PPCM est utile pour additionner ou soustraire deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur, puisqu'il permet de déterminer leur plus petit dénominateur commun.
D'après l'exemple précédent : PPCM(\(\displaystyle{4 ; 14}\)) = \(\displaystyle{28}\)
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