Cinquième 2015-2016
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Cinquième 2015-2016
I

Les propriétés de construction d'un triangle

A

L'inégalité triangulaire

Si les points A, B et C ne sont pas alignés, alors d'après l'inégalité triangulaire :

AC<AB+BC

-
  • AB+BC=4+5,5=9,5 cm
  • AC=7 cm

On a bien :

AC<AB+BC

L'inégalité triangulaire traduit le fait que le plus court chemin entre les points A et C est le segment [AC]. En passant par un troisième point B, on rallonge obligatoirement le chemin : la somme des distances de A à B et de B à C est ainsi plus grande que la distance de A à C.

Si les points A, B et C sont alignés, on a :

AC=AB+BC

Réciproquement, si AC=AB+BC, alors les trois points A, B et C sont alignés.

-

Sur la figure précédente, les points A, B et C sont alignés. On a bien :

  • AB+BC=7+2=9
  • AC=9

Ainsi :

AB+BC=AC

B

La somme des angles d'un triangle

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.

Dans ce triangle, ABCˆ+BACˆ+ACBˆ=180.

-
Si on connaît la mesure de deux angles d'un triangle, on peut donc en déduire la mesure du troisième angle.
-

On connaît les angles BACˆ et ACBˆ donc on peut en déduire la mesure de l'angle ABCˆ.

ABCˆ=180°BACˆACBˆ=1803040=110°

II

Propriétés des angles des triangles usuels

A

Propriétés des angles des triangles isocèles

Sommet principal et base

Dans un triangle isocèle, le sommet joignant les côtés de même longueur est le sommet principal. Le côté opposé à ce sommet est la base.

-

Dans un triangle isocèle les angles à la base sont de même mesure.

-

Réciproquement, si dans un triangle, deux angles sont de même mesure, alors ce triangle est isocèle.

B

Propriétés des angles des triangles équilatéraux

Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.

-

Réciproquement, si dans un triangle les trois angles mesurent 60°, alors ce triangle est équilatéral.

III

Les droites remarquables d'un triangle

A

Les médiatrices

Médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.

La droite (d) est la médiatrice du segment [AB].

-
Si un point est sur la médiatrice d'un segment, il est à égale distance des extrémités de ce segment.

Le point C appartient à la médiatrice (d) du segment [AB]. Donc CA=CB.

-
Inversement, si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, il appartient à la médiatrice de ce segment.

Dans un triangle, les médiatrices des côtés sont concourantes, c'est-à-dire qu'elles se coupent en un même point.

-
Dans un triangle, il y a trois médiatrices.
B

Les hauteurs

Hauteur d'un triangle

Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Dans le triangle ABC, la droite (BH) est la hauteur issue de B et H est le pied de la hauteur.

-
Une hauteur peut être située à l'extérieur du triangle.
-
Dans un triangle, il y a trois hauteurs.
C

Les médianes

Médiane d'un triangle

Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.

-
Dans un triangle, il y a trois médianes.
IV

Utilisations des droites remarquables

A

Le cercle circonscrit à un triangle

Cercle circonscrit à un triangle

Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets de ce triangle. Son centre est le point d'intersection des médiatrices des côtés du triangle.

-
Le centre du cercle circonscrit n'est pas obligatoirement situé à l'intérieur du triangle.
-
B

L'aire d'un triangle

L'aire d'un triangle est égale à la longueur d'une hauteur multipliée par celle du côté opposé, le tout divisé par 2 :

=hauteur×côté2

-

L'aire de ce triangle est égale à :

A=4×62=12 cm2.

Sachant qu'un triangle possède trois hauteurs différentes, il existe trois calculs possibles pour l'aire. On choisit le calcul le plus facile.

L'aire d'un triangle est égale à la moitié de celle du parallélogramme associé.

-
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