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Etudier le signe de la fonction dérivée

Méthode 1

Si \(\displaystyle{f'\left(x\right)=ax+b}\)

Si \(\displaystyle{f'\left(x\right)=ax+b}\), il suffit de résoudre l'inéquation \(\displaystyle{f'\left(x\right) \geq 0}\) pour pouvoir déterminer le signe de f'.

On considère une fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) telle que \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = 2-x}\).

Etudier le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right) }\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 1

Résoudre \(\displaystyle{f'\left(x\right)>0}\)

On a \(\displaystyle{f'\left(x\right)=ax+b}\).

On résout donc \(\displaystyle{ax +b \gt 0}\).

On fait attention au signe de a lors de la résolution de l'inéquation. Si \(\displaystyle{a\lt0}\), le sens de l'inéquation change.

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{-2x+3\gt0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow-2x\gt-3}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x \lt\dfrac{-3}{-2}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x \lt\dfrac{3}{2}}\)

On a \(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R}, f'\left(x\right)= 2-x}\).

On reconnaît une fonction affine.

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{f'\left(x\right) \geq 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow2-x \geq 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x \leq 2}\)

Etape 2

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.

On obtient le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) :

-
Méthode 2

Si \(\displaystyle{f'\left(x\right)=ax^2+bx+c}\)

Si la dérivée est une fonction trinôme du second degré, on calcule le discriminant \(\displaystyle{\Delta }\) et les éventuelles racines de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) afin de déterminer son signe.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) telle que \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = -4x^2+3x+1}\).

Etudier le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right) }\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 1

Calculer le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\)

On calcule le discriminant \(\displaystyle{\Delta }\) du trinôme.

On reconnaît un trinôme du second degré.

On calcule le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\) :

\(\displaystyle{\Delta = b^2-4ac}\)

\(\displaystyle{\Delta = 3^2 -4\left(-4\right)\times 1 =9+16=25}\)

Etape 2

Etudier le signe du trinôme

En fonction du signe de \(\displaystyle{\Delta}\), plusieurs cas sont possibles :

  • Si \(\displaystyle{\Delta \lt 0}\) alors le trinôme est toujours du signe de a.
  • Si \(\displaystyle{\Delta = 0}\) alors le trinôme est toujours du signe de a mais est nul au niveau de la racine.
  • Si \(\displaystyle{\Delta \gt 0}\) alors le trinôme est du signe de a sauf entre les racines. Dans ce cas, on calcule également les racines.

Ici, \(\displaystyle{\Delta \gt 0}\), donc le trinôme est du signe de a sauf entre les racines.

On calcule les racines :

  • \(\displaystyle{x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3-5}{-8}= 1}\)
  • \(\displaystyle{x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3+5}{-8}= -\dfrac{1}{4}}\)
Etape 3

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.

On obtient le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) :

-
Méthode 3

Si \(\displaystyle{f'\left(x\right)=\left(u\left(x\right)\right)^n}\)

Si la dérivée est une fonction u définie sur un intervalle I élevée à une puissance n, son signe dépend de la parité de n.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) telle que \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) =\left(1-3x\right)^3}\).

Etudier le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right) }\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 1

Résoudre \(\displaystyle{f'\left(x\right)>0}\)

  • Si n est pair, alors, \(\displaystyle{\forall x \in I, \left(u\left(x\right)\right) ^n \geq 0}\)
  • Si n est impair, l'inéquation \(\displaystyle{\left(u\left(x\right)\right) ^n \geq 0}\) est équivalente à \(\displaystyle{u\left(x\right)\geq 0}\). On résout donc l'équation \(\displaystyle{u\left(x\right)\geq 0}\).

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) =\left(1-3x\right)^3}\). 3 est impair.

On résout donc, pour tout réel x :

\(\displaystyle{\left(1-3x\right)^3 \geq 0 }\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow 1-3x \geq 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 3x \leq 1}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow x\leq \dfrac{1}{3}}\)

Etape 2

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.

On obtient le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right) }\) :

-
Méthode 4

Si \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) n'est pas une expression simple

Si \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) n'est pas une expression simple, il faut factoriser \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) afin de se ramener à un produit ou un quotient de facteurs dont on est capable de déterminer le signe.

On considère une fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) =x-x\left(2-x^2\right)}\).

Etudier le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right) }\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 1

Factoriser \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\)

On repère un facteur commun afin de factoriser l'expression de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\), et de l'exprimer en fonction d'expressions dont on sait déterminer le signe :

  • Une fonction affine
  • Un trinôme du second degré
  • Une fonction élevée à une puissance entière
  • Une expression dont on a déjà déterminée le signe dans des questions précédentes

On factorise l'expression avant d'étudier le signe. x est le facteur commun ici.

On en déduit que, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f'\left(x\right) =x-x\left(2-x^2\right)}\)

\(\displaystyle{f'\left(x\right) = x\left[ 1-\left(2-x^2\right)\right]}\)

\(\displaystyle{f'\left(x\right) = x\left( x^2-1\right)}\)

Etape 2

Etudier le signe de chaque facteur

On étudie le signe des différents facteurs un à un.

On étudie le signe de chacun des facteurs :

  • \(\displaystyle{x \geq 0 }\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\)
  • \(\displaystyle{x^2-1 \geq0 \Leftrightarrow x^2 \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 1\; ou\; x \leq -1}\)
Etape 3

Dresser le tableau de signes de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\)

On dresse un tableau de signes de chacun des facteurs de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) pour en déduire le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) .

On en déduit le tableau de signes de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) :

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