Première ES 2016-2017
Kartable
Première ES 2016-2017
I

Etude globale d'une suite

A

Définition

Suite numérique

Une suite numérique est une fonction de dans .

La fonction définie pour tout entier naturel n par u(n)=2n+1 est une suite.

  • Pour désigner la suite u, on peut écrire (un).
  • L'écriture un désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire u(n).
  • Une suite u peut n'être définie qu'à partir d'un certain rang n0. Dans ce cas, on écrit (un)nn0 pour désigner la suite u.

Modes de génération d'une suite

Il existe trois façons de définir une suite.

1. Définition explicite
La suite (un) est définie directement par son terme général :

un=f(n)

2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur et un réel f, une suite (un) peut être définie par récurrence grâce à son premier terme et une relation de récurrence valable pour tout entier n :

u0=aun+1=f(un)

3. Définition implicite
La suite (un) est définie par une propriété géométrique, économique, etc. au sein d'un problème.

Quel que soit le mode de génération d'une suite, il se peut qu'elle ne soit définie qu'à partir d'un certain rang n0.

B

Le sens de variation

Suite croissante

La suite (un) est croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1un

Considérons la suite (un) définie pour tout entier naturel n, par récurrence, par u0=12 et, pour tout entier naturel n :

un+1=(un)2+un

On en déduit que, pour tout entier naturel n :

un+1un=(un)2.

Or (un)20. Donc, pour tout entier naturel n :

un+1un0

Ainsi, pour tout entier naturel n :

un+1un

Donc la suite (un) est croissante.

Suite strictement croissante

La suite (un) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1>un

Suite décroissante

La suite (un) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1un

Considérons la suite définie par :

n,un=1n

On a, pour tout entier naturel n non nul :

un+1un=1n+11n=n(n+1)n(n+1)=1n(n+1).

Pour tout entier naturel n non nul, le rapport 1n(n+1) est négatif, donc : un+1un0

Ainsi, pour tout entier naturel n non nul:

un+1un

Par conséquent la suite (un) est décroissante.

Suite strictement décroissante

La suite (un) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1<un

Suite constante

La suite (un) est constante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1=un

Suite monotone

La suite (un) est monotone si, et seulement si, elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens).

C

Représentation graphique

Représentation graphique d'une suite

Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une suite u est l'ensemble des points de coordonnées (n;un), où n décrit les entiers naturels pour lesquels un est défini.

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un=n21. On a le tableau des premiers termes suivant :

n01234
un−103815

On obtient les premiers points de la représentation graphique ci-dessous :

-
II

Les suites particulières

A

Les suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :

un+1=un+r

On considère la suite définie par son premier terme u0=1 et par pour tout entier naturel n :

un+1=un2

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

(un) est donc une suite arithmétique.

Raison

Le réel r est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite est une suite arithmétique de raison −2.

Soit (un) une suite arithmétique de raison r.

  • si r>0, la suite est strictement croissante
  • si r<0, la suite est strictement décroissante
  • si r=0, la suite est constante

Terme général d'une suite arithmétique

Soit (un) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

un=up+(np)r

En particulier, si (un) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

un=u0+nr

Soit u une suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme u0=3.

Pour tout entier naturel n, on a : un=32n

Soit u une suite arithmétique. Les points de sa représentation graphique sont alignés.

Considérons la suite arithmétique u de raison r=0,5 et de premier terme u0=2. Voici les premiers points de sa représentation graphique :

-

Si u est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors les points de sa représentation graphique appartiennent à la droite d'équation y=rx+u0.

B

Les suites géométriques

Suite géométrique

Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :

un+1=un×q

On considère la suite définie par son premier terme u0=1 et pour tout entier naturel n par :

un+1=3un

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est donc une suite géométrique.

Raison

Le réel q est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite est géométrique de raison 3.

Soit q un réel strictement positif.

  • si q>1, la suite (qn) est strictement croissante.
  • si q<1, la suite (qn) est strictement décroissante.
  • si q=1, la suite (qn) est constante.

On parle de croissance (ou de décroissance) exponentielle dans le cas d'une suite géométrique.

Terme général d'une suite géométrique

Soit (un) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

un=up×qnp

En particulier, si (un) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

un=u0×qn

On considère suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u0=3.

Pour tout entier naturel n, on a : un=3×2n

Soit u une suite géométrique de raison q1. Les points de sa représentation graphique ne sont pas alignés.

Considérons la suite géométrique de raison q=5 et de premier terme u0=0,1. Voici les premiers points de sa représentation graphique :

-
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