Première ES 2016-2017

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Représenter graphiquement une suite définie par récurrence

On peut représenter graphiquement les termes d'une suite dans un repère. Une démarche spécifique est à suivre lorsqu'elle est définie par récurrence.

Soit la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right) }\) définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0 = \dfrac{3}{2} \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} =\left(u_n\right)^2\end{cases}}\)

Placer \(\displaystyle{u_0}\), \(\displaystyle{u_1}\) et \(\displaystyle{u_2}\) sur l'axe des abscisses.

Etape 1

Déterminer l'expression de f

On détermine l'expression de la fonction f telle que, \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_{n+1} = f\left(u_n\right)}\).

On a :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_{n+1} = f\left(u_n\right)}\)

Avec \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2}\).

Etape 2

Tracer \(\displaystyle{C_f}\) et la droite d'équation \(\displaystyle{y=x}\)

On trace dans le même repère \(\displaystyle{C_f}\) (la courbe représentative de f) et la droite d'équation \(\displaystyle{y = x}\).

On trace la courbe représentative de f ainsi que la droite d'équation \(\displaystyle{y=x}\) dans un repère.

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Etape 3

Placer \(\displaystyle{u_0}\) en abscisse

On place \(\displaystyle{u_0 }\) en abscisse.

On place \(\displaystyle{u_0 = \dfrac{3}{2}}\) en abscisse.

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Etape 4

Placer \(\displaystyle{u_1}\) en abscisse

On détermine \(\displaystyle{u_1= f\left(u_0\right)}\) sur la courbe représentative de f. On rejoint ensuite horizontalement la droite d'équation \(\displaystyle{y= x}\), et on place l'abscisse de la valeur trouvée.

Cela donne \(\displaystyle{u_1}\) sur l'axe des abscisses.

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On a \(\displaystyle{u_1 = f\left(u_0\right)}\). On trace \(\displaystyle{u_1}\) en s'aidant de \(\displaystyle{C_f}\) et de la droite d'équation \(\displaystyle{y = x}\).

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Etape 5

Placer les autres points

On répète l'opération pour placer sur l'axe des abscisses les autres points :

  • \(\displaystyle{u_2}\) (qui vaut \(\displaystyle{f\left(u_1\right)}\) )
  • \(\displaystyle{u_3}\) (qui vaut \(\displaystyle{f\left(u_2\right)}\) ), etc.

On place ensuite \(\displaystyle{u_2}\) avec la même technique.

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En général, on demande de placer les points sur l'axe des abscisses. Si on demande les points \(\displaystyle{M_n \left(n; u_n\right)}\), il suffit de conserver la valeur de \(\displaystyle{u_n}\) en ordonnée et de choisir pour abscisse n. On obtient alors un nuage de points.