Première ES 2016-2017

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Déterminer la forme canonique du trinôme

La forme canonique d'un trinôme du second degré \(\displaystyle{ax^2+bx+c}\) est \(\displaystyle{a\left(x-\alpha\right)^2+\beta}\) avec \(\displaystyle{\alpha = -\dfrac{b}{2a}}\) et \(\displaystyle{\beta = f\left(\alpha\right) = \dfrac{-\Delta}{4a}}\).

Déterminer la forme canonique du polynôme défini pour tout réel x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2-2x-3}\)

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que la forme canonique d'un trinôme du second degré de la forme \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}\) est :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta}\), avec :

  • \(\displaystyle{\alpha = -\dfrac{b}{2a}}\)
  • \(\displaystyle{\beta = f\left(\alpha\right) = \dfrac{-\Delta}{4a}}\)

La forme canonique d'un trinôme du second degré de la forme \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}\) est :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta}\), avec :

  • \(\displaystyle{\alpha = -\dfrac{b}{2a}}\)
  • \(\displaystyle{\beta = f\left(\alpha\right) = \dfrac{-\Delta}{4a}}\)
Etape 2

Calculer \(\displaystyle{\alpha}\)

On calcule \(\displaystyle{\alpha}\).

Ici, on a :

\(\displaystyle{\alpha= \dfrac{-\left(-2\right)}{2\times 1}}\)

Soit :

\(\displaystyle{\alpha=1}\)

Etape 3

Calculer \(\displaystyle{\beta}\)

On calcule \(\displaystyle{\beta }\) :

  • Si \(\displaystyle{f\left(\alpha\right)}\) est simple à calculer (par exemple si \(\displaystyle{\alpha=1}\) ou \(\displaystyle{\alpha=-1}\) ), on utilise cette forme.
  • Sinon on utilise \(\displaystyle{\beta= \dfrac{-\Delta}{4a}}\), en particulier si on connaît déjà \(\displaystyle{\Delta}\).

Comme \(\displaystyle{\alpha =1}\), on calcule \(\displaystyle{\beta}\) grâce à la formule \(\displaystyle{\beta = f\left(\alpha \right)}\). On obtient :

\(\displaystyle{\beta= f\left(1\right) = 1^2-2\times 1 -3}\)

Soit :

\(\displaystyle{\beta= -4}\)

Etape 4

Conclure

On conclut en donnant la forme canonique du trinôme du second degré.

On en déduit que, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =\left(x-1\right)^2-4}\)

Chapitre 2 Les trinômes du second degré
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