Première ES 2016-2017

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Reconnaître une loi binomiale

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale lorsqu'elle dénombre les succès dans une suite d'expériences de Bernoulli répétées de manière indépendante.

Afin de démontrer qu'une variable aléatoire X suit une loi binomiale, il convient de respecter scrupuleusement les étapes de la rédaction suivante.

\(\displaystyle{0,2\%}\) des pièces fabriquées dans une usine sont défectueuses. On prélève un échantillon de 100 pièces (le nombre de pièces étant suffisamment grands pour considérer les tirages indépendants).

On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Etape 1

Identifier un schéma de Bernoulli

On identifie une expérience à deux issues possibles :

  • Le succès, obtenu avec une probabilité p que l'on détermine.
  • L'échec, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q = 1 -p}\).

L'expérience "prélever une pièce" a deux issues possibles :

  • Succès (la machine est défectueuse) obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p = 0,002}\).
  • Echec (la machine n'est pas défectueuse) obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q= 1-p = 0,998}\).

Nous sommes donc en présence d'un schéma de Bernoulli.

Etape 2

Expliquer la répétition de l'expérience

On justifie que l'expérience est répétée n fois, de manière indépendante.

On répète cette expérience 100 fois de manière indépendante (les tirages sont supposés indépendants d'après l'énoncé).

Etape 3

Enoncer le rôle de X

On précise que X est la variable aléatoire qui dénombre les succès lors de la répétition de l'expérience de Bernoulli.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

Etape 4

Conclure sur la loi de X et ses paramètres

On conclut que X suit alors une loi binomiale de paramètres n et p.

Donc X suit une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=100}\) et \(\displaystyle{p = 0,002}\).

Lorsque X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on sait que :

  • \(\displaystyle{X\left(\Omega\right) = \left\{ 0 ; 1 ; ... ; n \right\}}\)
  • pour tout k de \(\displaystyle{X\left(\Omega\right)}\), \(\displaystyle{p\left(X=k\right) = \dbinom{n}{k}p^k q^{n-k}}\)
  • \(\displaystyle{E\left(X\right) = np}\)
  • \(\displaystyle{V\left(X\right) = np\left(1-p\right)}\)