Première ES 2015-2016
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Première ES 2015-2016

Donner une équation d'une tangente à la courbe d'une fonction dérivable

On sait déterminer par le calcul une équation d'une tangente à la courbe d'une fonction en un point d'abscisse donné.

On considère la fonction f définie pour tout x par :

f(x)=2x2+x

On appelle Cf sa courbe représentative.

Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse x=1.

Etape 1

Réciter la formule

On énonce l'équation de la tangente : si f est une fonction dérivable en a, la tangente à Cf au point d'abscisse a a pour équation :

y=f(a)(xa)+f(a)

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur , et par conséquent en 1. La tangente T1 à Cf au point d'abscisse x=1 a pour équation :

y=f(1)(x1)+f(1)

Etape 2

Calculer f(a)

On calcule la valeur de f(a) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f.

x, f(x)=2x2+x

Donc f(1)=2×12+1=3

Etape 3

Calculer f(a)

Deux cas peuvent se présenter :

Cas 1

Une expression de f(x) est connue

On calcule la valeur de f(a) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f'.

Cas 2

Aucune expression de f(x) n'est connue

On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f(x).

On calcule ensuite la valeur de f(a) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f'.

Ici, aucune expression de f(x) n'est connue. On détermine donc une expression de f(x) :

f est dérivable sur en tant que fonction polynôme.

x, f(x)=2x2+x

Donc x, f(x)=4x+1

Ainsi :

f(1)=4×1+1=5

Etape 4

Conclure

On remplace, dans l'équation précédente de la tangente, f(a) et f(a) par leurs valeurs respectives. On simplifie ensuite l'expression.

On obtient une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

On sait que la tangente a pour équation :

y=f(1)(x1)+f(1) avec f(1)=3 et f(1)=5.

On en déduit que T1 admet pour équation :

T1:y=5(x1)+3

T1:y=5x5+3

T1:y=5x2

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