Première ES 2015-2016

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Déterminer le taux annuel moyen d'évolution

Lorsque l'on connaît le taux global d'évolution sur un certain nombre d'années (ou plus généralement de périodes), on peut calculer le taux annuel moyen d'évolution qui, s'il était constant chaque année, aurait permis la même évolution.

En 2009, un boulanger vendait en moyenne 800 baguettes par jour. En 2013, il en vendait en moyenne 1112. Déterminer le taux annuel moyen d'évolution entre les années 2009 et 2013.

Etape 1

Écrire le taux correspondant à n évolutions successives

On note t le taux annuel moyen d'évolution.

D'après le cours, on sait qu'une quantité Q ayant subi n évolutions identiques successives pour arriver à la valeur Q' vérifie l'égalité suivante :

\(\displaystyle{Q' = Q\left(1+t\right)^n}\)

On note t le taux annuel moyen d'évolution. Comme 4 années séparent 2009 de 2013, on obtient :

\(\displaystyle{1\ 112 = 800\left(1+t\right)^4}\)

Etape 2

Isoler le taux annuel moyen dans l'égalité

On transforme l'égalité afin d'isoler le taux moyen d'évolution annuel t :

\(\displaystyle{\left(1+t\right)^n = \dfrac{Q'}{Q}}\)

Soit :

\(\displaystyle{1+t = \left(\dfrac{Q'}{Q}\right)^{\frac{1}{n}}}\)

Et finalement :

\(\displaystyle{t=\left(\left(\dfrac{Q'}{Q}\right)^{\frac{1}{n}} -1 \right)}\)

Si on connaît uniquement le taux global d'évolution T, et pas les valeurs initiale et finale, on a l'égalité :

\(\displaystyle{\left(1+t\right)^n =1+T}\)

On peut, de même, déterminer t.

On en déduit que

\(\displaystyle{\left(1+t\right)^4 = \dfrac{1\ 112}{800}}\)

Soit :

\(\displaystyle{1+t= \left(\dfrac{1\ 112}{800}\right)^{\frac{1}{4}}}\)

Finalement, on obtient :

\(\displaystyle{t=\left(\left(\dfrac{1\ 112}{800}\right)^{\frac{1}{4}} -1 \right)}\)

Etape 3

Effectuer le calcul à la calculatrice

On effectue le calcul à la calculatrice.

A l'aide de la calculatrice on trouve :

\(\displaystyle{t \approx 0,0858}\)

\(\displaystyle{t \approx 8,58\%}\)