Première ES 2015-2016

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Calculer une espérance et l'interpréter

L'espérance d'une variable aléatoire X donne la valeur que prend X en moyenne, ou la valeur de X que l'on peut "espérer". On la calcule à partir de la loi de probabilité de X.

X est la variable aléatoire donnant le chiffre d'affaires mensuel d'un commerçant en euros. Le tableau suivant donne la loi de probabilité de la variable X

\(\displaystyle{x_i}\) 1000 1500 2000 3000 4500
\(\displaystyle{p\left(x=X_i\right)}\) 0,05 0,3 0,4 0,15 0,10

Calculer \(\displaystyle{E\left(X\right)}\). Le commerçant peut-il espérer un chiffre d'affaires annuel supérieur à 25 000 € ?

Etape 1

Rappeler la loi de probabilité de X

Si elle n'a pas déjà été déterminée, on détermine la loi de probabilité de X. Sinon, on la rappelle.

Ici, la loi de probabilité de X est donnée dans l'énoncé :

\(\displaystyle{x_i}\) 1000 1500 2000 3000 4500
\(\displaystyle{p\left(x=X_i\right)}\) 0,05 0,3 0,4 0,15

0,10

Etape 2

Enoncer la formule

On rappelle la formule de l'espérance :

\(\displaystyle{E\left(X\right) =\sum x_i p\left(X=x_i\right) = x_1p\left(X= x_1\right)+x_2p\left(X= x_2\right)+...+x_np\left(X= x_n\right)}\)

On sait que \(\displaystyle{E\left(X\right) =\sum x_i p\left(X=x_i\right) }\).

Etape 3

Effectuer le calcul

On applique cette formule et on calcule le résultat.

On obtient :

\(\displaystyle{E\left(X\right) = 1\ 000 \times 0,05+ 1\ 500\times 0,3+2\ 000 \times 0,4 + 3\ 000 \times 0,15 + 4\ 500 \times 0,10}\)

\(\displaystyle{E\left(X\right) = 2\ 200}\)

Etape 4

Interpréter l'espérance

\(\displaystyle{E\left(X\right)}\) est la valeur que peut prendre X en moyenne, ou la valeur de X que l'on peut espérer obtenir.

\(\displaystyle{E\left(X\right) = 2\ 200}\), donc le commerçant peut espérer un chiffre d'affaires mensuel de 2200.

Cela donne un chiffre d'affaires annuel de \(\displaystyle{12 \times 2\ 200= 26\ 400}\).

L'espérance de son chiffre d'affaires annuel vaut donc 26 400€.

Par conséquent, le commerçant peut bien espérer un chiffre d'affaires annuel de plus de 25 000€.