Première L 2016-2017
Kartable
Première L 2016-2017

Etudier le domaine de définition d'une fonction

Méthode 1

Si l'expression donnée de la fonction comporte une racine

Afin d'étudier une fonction comportant une racine, il convient d'abord de déterminer son ensemble de définition.

Soit la fonction f telle que :

f(x)=3x+7

Déterminer l'ensemble de définition de f.

Etape 1

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que u(x) est définie si et seulement si u(x)0.

La fonction f est définie si et seulement si 3x+70.

Etape 2

Résoudre

On résout l'inéquation u(x)0.

On a, pour tout réel x :

3x+70

3x7

x73

Etape 3

Conclure sur le domaine de définition

La fonction f est définie sur l'intervalle des x tel que u(x)0.

L'ensemble de définition de la fonction est Df=[73;+[.

Méthode 2

Si l'expression donnée de la fonction comporte un quotient

Afin d'étudier une fonction comportant un quotient, il convient d'abord de déterminer son ensemble de définition.

Soit la fonction f telle que :

f(x)=12x2+4x+2

Déterminer l'ensemble de définition de f.

Etape 1

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que v(x)u(x) est définie si et seulement si u(x)0.

La fonction f est définie si et seulement 2x2+4x+20.

Etape 2

Résoudre

On résout l'inéquation u(x)0.

La fonction f est définie si et seulement si 2x2+4x+20.

On détermine les racines du trinôme du second degré.

Pour ce faire, on calcule le discriminant :

Δ=b24ac

Δ=424×2×2

Δ=0

Donc le trinôme possède une racine unique que l'on calcule :

x0=b2a

x0=42×2

x0=1

Donc le trinôme s'annule pour x=1.

Etape 3

Conclure sur le domaine de définition

La fonction f est définie sur l'intervalle des x tel que u(x)0.

L'ensemble de définition de la fonction est donc : Df={1}.

Méthode 3

Si l'expression donnée de la fonction comporte à la fois une racine et un quotient

Afin d'étudier une fonction comportant une racine et un quotient, il convient d'abord de déterminer son ensemble de définition, sachant que les deux contraintes sont à prendre en compte.

Soit la fonction f telle que :

f(x)=2x212x+16+17x4.

Déterminer l'ensemble de définition de f.

Etape 1

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que :

  • w(x)v(x) est définie si et seulement si v(x)0.
  • u(x) est définie si et seulement si u(x)0.

La fonction f est définie si et seulement si :

  • 2x212x+160
  • 7x40
Etape 2

Déterminer les réels vérifiant la première condition

On résout l'équation u(x)0.

Pour tout réel x :

7x4=0

7x=4

x=47

Etape 3

Déterminer les réels vérifiant la deuxième condition

On résout l'inéquation v(x)0.

La fonction f est définie si et seulement si x47 et 2x212x+160.

On détermine le signe du trinôme du second degré. Pour ce faire, on calcule le discriminant :

Δ=b24ac

Δ=(12)24×2×16

Δ=16

Or, d'après le cours, si Δ>0 le trinôme est du signe de a (positif ici) sauf entre les racines.

On calcule les racines :

  • x1=bΔ2a=1244=2
  • x2=b+Δ2a=12+44=4

Donc le trinôme est positif ou nul sur ];2][4;+[.

Etape 4

Tenir compte des deux conditions simultanément

On détermine l'ensemble des réels vérifiant les deux conditions.

Ainsi, f(x) existe si et seulement si x47 et x];2][4;+[

Ces conditions sont toutes respectées si x];47[]47;2][4;+[.

Etape 5

Conclure sur le domaine de définition

La fonction f est définie sur l'ensemble des réels vérifiant les deux conditions.

Ainsi, l'ensemble de définition de la fonction est : Df=];47[]47;2][4;+[.

Les fonctions usuelles rencontrées en classe de 1re sans racine ni quotient sont définies sur .

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