Première L 2016-2017
Kartable
Première L 2016-2017

Calculer une variance et un écart-type

La variance et l'écart-type d'une variable aléatoire X donne des informations sur la dispersion des valeurs de X.

Le tableau suivant donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

xi02468
p(x=xi)0,10,250,40,150,1

Calculer V(X) et σ(X).

Etape 1

Rappeler la loi de probabilité de X

Si elle n'a pas déjà été déterminée, on détermine la loi de probabilité de X. Sinon, on la rappelle.

Ici, la loi de probabilité de X est donnée dans l'énoncé :

xi02468
p(x=Xi)0,10,250,40,150,1
Etape 2

Enoncer la formule

On rappelle les formules :

  • V(X)=i=0n(xiE(X))2×p(X=xi)
  • σ(X)=V(X)

D'après le cours :

  • V(X)=i=0n(xiE(X))2×p(X=xi)
  • σ(X)=V(X)
Etape 3

Calculer ou rappeler la valeur de l'espérance

On rappelle que E(X)=xip(X=xi).

On calcule la valeur de l'espérance. Si elle a déjà été calculée dans les questions précédentes, on la rappelle.

On sait que :

E(X)=xip(X=xi)

Soit :

E(X)=0×0,1+2×0,25+4×0,4+6×0,15+8×0,10.

E(X)=3,8

Etape 4

Appliquer la formule

On applique la formule afin de trouver la valeur de la variance, puis de l'écart-type.

On a :

V(X)=i=0n(xiE(X)2)×P(X=xi).

Soit, ici :

V(X)=(03,8)2×0,1+(23,8)2×0,25+(43,8)2×0,4+(63,8)2×0,15+(83,8)2×0,1

V(X)=4,76

De plus, on sait que :

σ(X)=V(X)

Soit :

σ(X)2,18

Etape 5

Interpréter la variance

Plus la variance est élevée, plus la dispersion des valeurs par rapport à l'espérance est forte.

En pratique, on peut interpréter une variance uniquement en la comparant à une autre.

Afin de calculer la variance, on peut également utiliser la formule : V(X)=i=0n[(xi)2p(X=xi)](E(X))2

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