Première L 2016-2017

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Déterminer la moyenne, la variance et l'écart-type d'une série statistique

La moyenne d'une série statistique, notée \(\displaystyle{\overline{x}}\), donne la valeur prise en moyenne dans la série. La variance, notée V, et l'écart-type, noté \(\displaystyle{\sigma}\), donnent une évaluation de l'écart des valeurs prises par rapport à la moyenne.

Lorsqu'une série statistique est donnée, on sait calculer ces trois grandeurs.

On donne la série statistique suivante :

\(\displaystyle{x_i}\) 1 2 3 4 5 6 7
\(\displaystyle{n_i}\) 3 11 10 9 11 4 1

Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type de cette série.

Etape 1

Calculer les \(\displaystyle{x_in_i}\) et les \(\displaystyle{\left(x_i\right)^2n_i}\)

Dans le tableau statistique, on donne les valeurs \(\displaystyle{x_i}\) et les effectifs \(\displaystyle{n_i}\). On ajoute une ligne dans laquelle on calcule les produits \(\displaystyle{x_in_i}\) et une ligne dans laquelle on calcule les produits \(\displaystyle{n_i\left(x_i\right)^2}\).

On complète le tableau :

\(\displaystyle{x_i}\) 1 2 3 4 5 6 7
\(\displaystyle{n_i}\) 3 11 10 9 11 4 1
\(\displaystyle{n_ix_i}\) 3 22

30

36 55 24 7
\(\displaystyle{n_i\left(x_i\right)^2}\) 3 44 90 144 275 144 49
Etape 2

Calculer \(\displaystyle{\overline{x}}\)

On applique la formule \(\displaystyle{\overline{x} =\dfrac{1}{N}\sum x_in_i}\) et on simplifie l'expression obtenue.

On a \(\displaystyle{\overline{x} =\dfrac{1}{N}\sum x_in_i}\).

Or d'après le tableau :

  • \(\displaystyle{N = \sum n_i = 3+11+10+9+11+4+1=49}\)
  • \(\displaystyle{\sum x_in_i = 3+22+30+36+55+24+7=177}\)

D'où :

\(\displaystyle{\overline{x} =\dfrac{1}{49}\times 177}\)

\(\displaystyle{\overline{x} \approx 3,6}\)

Etape 3

Calculer V et \(\displaystyle{\sigma}\)

On applique la formule \(\displaystyle{V = \dfrac{1}{N} \sum \left(x_i\right)^2n_i - \left(\overline{x}\right)^2}\) et on simplifie l'expression.

On calcule ensuite \(\displaystyle{\sigma = \sqrt{V}}\).

On a \(\displaystyle{V = \dfrac{1}{N} \sum \left(x_i\right)^2n_i - \left(\overline{x}\right)^2}\).

Or d'après le tableau :

  • \(\displaystyle{N = \sum n_i = 3+11+10+9+11+4+1=49}\)
  • \(\displaystyle{\sum \left(x_i\right)^2in_i = 3+44+90+144+275+144+49 =749}\)

On a aussi : \(\displaystyle{\overline{x}=\dfrac{177}{49}}\)

D'où :

\(\displaystyle{V=\dfrac{1}{49}\times 749-\left(\dfrac{177}{49}\right)^2}\)

\(\displaystyle{V\approx 2,2}\)

Et :

\(\displaystyle{\sigma =\sqrt{\dfrac{1}{49}\times 749-\left(\dfrac{177}{49}\right)^2}}\)

\(\displaystyle{\sigma \approx 1,5}\)

Lorsqu'une série est répartie en classes, on prend les centres de chaque classe comme valeurs pour les \(\displaystyle{x_i}\). On peut ajouter cette ligne dans le tableau statistique pour plus de lisibilité.

Remplacer chaque classe par son centre lors du calcul de la moyenne, de la variance et de l'écart-type revient à faire l'hypothèse que les valeurs sont régulièrement réparties dans chaque classe. Tous les calculs sont du coup des résultats approchés puisqu'ils sont obtenus sous cette hypothèse.

Taille (en cm) \(\displaystyle{\left[ 140;150 \right[}\) \(\displaystyle{\left[ 150;156 \right[}\) \(\displaystyle{\left[ 156;160 \right[}\) \(\displaystyle{\left[ 160;180 \right[}\)
Centre de la classe \(\displaystyle{x_i}\) 145 153 158 170
Effectif \(\displaystyle{n_i}\) 3 11 10 9