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Les suites

I

Etude globale d'une suite

A

Définition

Suite numérique

Une suite numérique est une fonction de \(\displaystyle{\mathbb{N}}\) dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

La fonction définie pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) par \(\displaystyle{u\left(n\right) = 2n+1}\) est une suite.

  • Pour désigner la suite \(\displaystyle{u}\) , on peut écrire \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) .
  • L'écriture \(\displaystyle{u_{n}}\) désigne en revanche le terme de rang \(\displaystyle{n}\) de la suite \(\displaystyle{u}\), c'est-à-dire \(\displaystyle{u\left(n\right)}\).
  • Une suite u peut n'être définie qu'à partir d'un certain rang \(\displaystyle{n_0}\). Dans ce cas, on écrit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)_{n\geqslant n_0}}\) pour désigner la suite u.

Modes de génération d'une suite

Il existe trois façons de définir une suite.

1. Définition explicite
La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie directement par son terme général :

\(\displaystyle{u_{n} = f\left(n\right)}\)

2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et un réel f, une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) peut être définie par récurrence grâce à son premier terme et une relation de récurrence valable pour tout entier n :

\(\displaystyle{\begin{cases}u_{0} = a \cr \cr u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)\end{cases}}\)

3. Définition implicite
La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie par une propriété géométrique, économique, etc. au sein d'un problème.

Quel que soit le mode de génération d'une suite, il se peut qu'elle ne soit définie qu'à partir d'un certain rang \(\displaystyle{n_0}\).

B

Le sens de variation

Suite croissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \geq u_{n}}\)

Considérons la suite \(\displaystyle{\left(u_n \right)}\) définie pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\), par récurrence, par \(\displaystyle{u_0=12}\) et, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{ u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n }\)

On en déduit que, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2}\).

Or \(\displaystyle{\left(u_n \right)^2\geq0}\). Donc, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n\geq0}\)

Ainsi, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}\geqslant u_n}\)

Donc la suite \(\displaystyle{\left(u_n \right)}\) est croissante.

Suite strictement croissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \gt u_{n}}\)

Suite décroissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \leq u_{n}}\)

Considérons la suite définie par :

\(\displaystyle{\forall n \in\mathbb{N}^*, u_n=\dfrac1n}\)

On a, pour tout entier naturel n non nul :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}}\).

Pour tout entier naturel n non nul, le rapport \(\displaystyle{\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}}\) est négatif, donc : \(\displaystyle{u_{n+1}-u_n\leq0}\)

Ainsi, pour tout entier naturel n non nul:

\(\displaystyle{ u_{n+1}\leq u_n}\)

Par conséquent la suite \(\displaystyle{\left( u_n\right)}\) est décroissante.

Suite strictement décroissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \lt u_{n}}\)

Suite constante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est constante si, et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n}}\)

Suite monotone

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est monotone si, et seulement si, elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens).

C

Représentation graphique

Représentation graphique d'une suite

Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une suite u est l'ensemble des points de coordonnées \(\displaystyle{\left( n;u_n \right)}\), où n décrit les entiers naturels pour lesquels \(\displaystyle{u_n}\) est défini.

On considère la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) définie pour tout entier naturel n par \(\displaystyle{u_n=n^2-1}\). On a le tableau des premiers termes suivant :

n 0 1 2 3 4
\(\displaystyle{u_n}\) −1 0 3 8 15

On obtient les premiers points de la représentation graphique ci-dessous :

-
II

Les suites particulières

A

Les suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} + r}\)

On considère la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=1}\) et par pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} - 2 }\)

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

\(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est donc une suite arithmétique.

Raison

Le réel r est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite est une suite arithmétique de raison −2.

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite arithmétique de raison r.

  • si \(\displaystyle{r\gt0}\), la suite est strictement croissante
  • si \(\displaystyle{r\lt0}\), la suite est strictement décroissante
  • si \(\displaystyle{r=0}\), la suite est constante

Terme général d'une suite arithmétique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} + nr}\)

Soit u une suite arithmétique de raison \(\displaystyle{r=-2}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=3}\).

Pour tout entier naturel n, on a : \(\displaystyle{u_n=3-2n}\)

Soit u une suite arithmétique. Les points de sa représentation graphique sont alignés.

Considérons la suite arithmétique u de raison \(\displaystyle{r=0,5}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=-2}\). Voici les premiers points de sa représentation graphique :

-

Si u est une suite arithmétique de raison r et de premier terme \(\displaystyle{u_0}\), alors les points de sa représentation graphique appartiennent à la droite d'équation \(\displaystyle{y=rx+u_0}\).

B

Les suites géométriques

Suite géométrique

Une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} \times q}\)

On considère la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=1}\) et pour tout entier naturel n par :

\(\displaystyle{u_{n+1} = 3u_{n} }\)

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est donc une suite géométrique.

Raison

Le réel \(\displaystyle{q}\) est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite est géométrique de raison 3.

Soit q un réel strictement positif.

  • si \(\displaystyle{q\gt1}\), la suite \(\displaystyle{\left( q^n \right)}\) est strictement croissante.
  • si \(\displaystyle{q\lt1}\), la suite \(\displaystyle{\left( q^n \right)}\) est strictement décroissante.
  • si \(\displaystyle{q=1}\), la suite \(\displaystyle{\left( q^n \right)}\) est constante.

On parle de croissance (ou de décroissance) exponentielle dans le cas d'une suite géométrique.

Terme général d'une suite géométrique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} \times q^{n}}\)

On considère suite géométrique de raison \(\displaystyle{q=2}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=3}\).

Pour tout entier naturel n, on a : \(\displaystyle{u_n=3\times2^n}\)

Soit u une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q\neq1}\). Les points de sa représentation graphique ne sont pas alignés.

Considérons la suite géométrique de raison \(\displaystyle{q=5}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=0,1}\). Voici les premiers points de sa représentation graphique :

-

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