Première L 2016-2017

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Résoudre une inéquation du second degré

Une inéquation du second degré est une inéquation pouvant se ramener à une inéquation du type \(\displaystyle{ax^2+bx+c\gt0}\), avec \(\displaystyle{a\neq0}\).

Le symbole \(\displaystyle{\gt}\) peut être remplacé par \(\displaystyle{\geqslant}\), \(\displaystyle{\lt}\) ou \(\displaystyle{\leqslant}\).

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'inéquation :

\(\displaystyle{3x^2+x-1\lt x^2-4x+2}\)

Etape 1

Passer tous les termes du même côté de l'inégalité

Si nécessaire, regrouper tous les termes dans le même membre de l'inéquation pour obtenir une inéquation du type \(\displaystyle{ax^2+bx+c\gt0}\), avec \(\displaystyle{a\neq0}\). (le symbole \(\displaystyle{\gt}\) pouvant également être \(\displaystyle{\geqslant}\), \(\displaystyle{\lt}\) ou \(\displaystyle{\leqslant}\) )

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{3x^2+x-1\lt x^2-4x+2}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow3x^2 +x−1-x^2+4x-2<0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow2x^2+5x-3<0}\)

Etape 2

Déterminer le signe du trinôme

Il s'agit donc maintenant de déterminer le signe du trinôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=ax^2+bx+c}\) obtenu précédemment. Pour cela, on calcule le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\), on recherche les racines s'il en existe, et on détermine le signe du trinôme :

  • Si \(\displaystyle{\Delta >0}\) le trinôme admet deux racines distinctes \(\displaystyle{x_1}\) et \(\displaystyle{x_2}\)
    Il est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a à l'intérieur. Il s'annule en \(\displaystyle{x_1}\) et \(\displaystyle{x_2}\).
  • Si \(\displaystyle{\Delta =0}\) le trinôme admet une racine double \(\displaystyle{x_0}\). Il est toujours du signe de a et s'annule en \(\displaystyle{x_0}\).
  • Si \(\displaystyle{\Delta <0}\) le trinôme n'a pas de racine réelle. Il est toujours du signe de a.

On résume ces résultats dans un tableau de signes.

On étudie le signe du trinôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=2x^2+5x-3}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

On calcule le discriminant :

\(\displaystyle{\Delta=b^2-4ac=25-4\times2\times\left(-3\right)=25+24=49=7^2}\)

\(\displaystyle{\Delta>0}\), donc le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle déterminé par les racines, et du signe de -a (négatif) à l'intérieur.

On calcule les racines :

  • \(\displaystyle{x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-7}{4}=\dfrac{-12}{4}=-3}\)
  • \(\displaystyle{x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}}\)

On obtient le tableau de signes du trinôme :

-
Etape 3

Résoudre l'inéquation

On détermine dans le tableau de signes, le ou les intervalles pour lesquels l'inégalité est vérifiée.
On conclut en présentant les solutions de l'inéquation.

Ici, l'inéquation est vérifiée lorsque \(\displaystyle{2x^2+5x-3<0}\).

-

L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc :

\(\displaystyle{S=\left] -3; \dfrac{1}{2}\right[}\)

Lorsqu'on détermine les intervalles solutions de l'inéquation, on vérifie si l'inégalité est large ou stricte afin de savoir si les intervalles sont ouverts ou fermés.

Chapitre 2 Les trinômes du second degré
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