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Calculer et interpréter E(X) dans une loi binomiale

Lorsque la variable aléatoire X suit loi binomiale de paramètres n et p, alors l'espérance \(\displaystyle{E\left(X\right) =np}\) correspond à la valeur que prend X en moyenne.

On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanches tirées dans une urne. On admet que X suit une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=50}\) et \(\displaystyle{p=0,15}\).

Calculer l'espérance de X et interpréter ce résultat.

Etape 1

Rappeler les paramètres de la loi binomiale

On rappelle les paramètres de la loi de X.

La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=50}\) et \(\displaystyle{p= 0,15}\).

Etape 2

Enoncer la formule

D'après le cours, l'espérance de X vaut :

\(\displaystyle{E\left(X\right) = np}\)

On sait que \(\displaystyle{E\left(X\right) = np}\).

Etape 3

Appliquer la formule

On applique la formule et on simplifie l'expression.

Donc ici :

\(\displaystyle{E\left(x\right) = 50 \times 0,15}\)

\(\displaystyle{E\left(x\right) = 7,5}\)

Etape 4

Interpréter l'espérance

L'espérance \(\displaystyle{E\left(X\right)}\) correspond à la valeur que prend X en moyenne, soit le nombre moyen de succès.

Cela signifie qu'en moyenne on tirera \(\displaystyle{7,5}\) boules blanches de l'urne.

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