Première L 2015-2016
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Première L 2015-2016

Etudier la position de la courbe par rapport à une tangente

Pour étudier la position de la courbe par rapport à une tangente T d'équation y=ax+b, on détermine le signe de f(x)(ax+b).

On considère la fonction f définie pour tout x par :

f(x)=x2

On appelle Cf sa courbe représentative et T celle de sa tangente au point d'abscisse x=0,5.

Etudier la position relative de Cf et de T.

Etape 1

Déterminer une équation de la tangente

Si f est dérivable en a, la tangente Ta à Cf au point d'abscisse a a pour équation :

y=f(a)(xa)+f(a)

On calcule les valeurs de f(a) et de f(a) afin de déterminer une équation de Ta.

La fonction carré est dérivable sur , et donc en 0,5. La tangente T à Cf au point d'abscisse x=0,5 a pour équation :

y=f(0,5)(x0,5)+f(0,5)

On calcule les valeurs de f(0,5) et de f(0,5) :

  • x, f(x)=2x donc f(0,5)=2×0,5=1
  • x, f(x)=x2 donc f(0,5)=0,52=0,25

On en déduit que T admet pour équation :

y=1(x0,5)+0,25

Finalement, T admet pour équation :

y=x0,25

Etape 2

Réciter le cours

Afin d'étudier la position relative de Cf et de T d'équation y=ax+b sur un intervalle I, il faut étudier le signe de f(x)(ax+b) sur I.

Afin d'étudier la position relative de Cf et de T sur , on étudie le signe de f(x)(x0,25) sur .

Etape 3

Calculer et simplifier f(x)(ax+b)

On calcule f(x)(ax+b) et on simplifie son expression afin d'obtenir une forme dont on sait déterminer le signe.

Pour tout réel x :

f(x)(x0,25)=x2(x0,25)

Ainsi, pour tout réel x :

f(x)(x0,25)=x2x+0,25

Etape 4

Etudier le signe de f(x)(ax+b)

On détermine le signe de f(x)(ax+b). Sauf si le résultat est très simple, on récapitule le résultat dans un tableau de signes.

On reconnaît un trinôme du second degré.

On calcule le discriminant Δ :

Δ=b24ac=(1)24×1×0,25=11=0

Δ=0 donc le trinôme est du signe de a (positif) sur et nul au niveau de la racine.

On détermine l'unique racine :

  • x0=b2a=12×1=12

On en déduit que :

  • f(x)(x0,25)>0 sur {12}
  • f(x)(x0,25)=0 pour x=12
Etape 5

Conclure

On distingue 3 cas :

  • f(x)(ax+b)>0 sur I, alors Cf est au-dessus de T sur I.
  • f(x)(ax+b)<0 sur I, alors Cf est en dessous de T sur I.
  • f(x)(ax+b)=0, alors Cf et T sont sécantes au(x) point(s) d'abscisse(s) la (ou les) solution(s) de l'équation.

Ainsi :

  • Cf est au-dessus de T sur {12}
  • Cf et T sont sécantes au point d'abscisse x=12
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