Première L 2015-2016
Kartable
Première L 2015-2016

Etudier le signe de la fonction dérivée

Méthode 1

Si f(x)=ax+b

Si f(x)=ax+b, il suffit de résoudre l'inéquation f(x)0 pour pouvoir déterminer le signe de f'.

On considère une fonction f définie sur telle que x, f(x)=2x.

Etudier le signe de f(x) sur .

Etape 1

Résoudre f(x)>0

On a f(x)=ax+b.

On résout donc ax+b>0.

On fait attention au signe de a lors de la résolution de l'inéquation. Si a<0, le sens de l'inéquation change.

Pour tout réel x :

2x+3>0

2x>3

x<32

x<32

On a x,f(x)=2x.

On reconnaît une fonction affine.

Pour tout réel x :

f(x)0

2x0

x2

Etape 2

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.

On obtient le signe de f(x) :

-
Méthode 2

Si f(x)=ax2+bx+c

Si la dérivée est une fonction trinôme du second degré, on calcule le discriminant Δ et les éventuelles racines de f(x) afin de déterminer son signe.

On considère la fonction f définie sur telle que x, f(x)=4x2+3x+1.

Etudier le signe de f(x) sur .

Etape 1

Calculer le discriminant Δ

On calcule le discriminant Δ du trinôme.

On reconnaît un trinôme du second degré.

On calcule le discriminant Δ :

Δ=b24ac

Δ=324(4)×1=9+16=25

Etape 2

Etudier le signe du trinôme

En fonction du signe de Δ, plusieurs cas sont possibles :

  • Si Δ<0 alors le trinôme est toujours du signe de a.
  • Si Δ=0 alors le trinôme est toujours du signe de a mais est nul au niveau de la racine.
  • Si Δ>0 alors le trinôme est du signe de a sauf entre les racines. Dans ce cas, on calcule également les racines.

Ici, Δ>0, donc le trinôme est du signe de a sauf entre les racines.

On calcule les racines :

  • x1=bΔ2a=358=1
  • x2=b+Δ2a=3+58=14
Etape 3

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.

On obtient le signe de f(x) :

-
Méthode 3

Si f(x)=(u(x))n

Si la dérivée est une fonction u définie sur un intervalle I élevée à une puissance n, son signe dépend de la parité de n.

On considère la fonction f définie sur telle que x, f(x)=(13x)3.

Etudier le signe de f(x) sur .

Etape 1

Résoudre f(x)>0

  • Si n est pair, alors, xI,(u(x))n0
  • Si n est impair, l'inéquation (u(x))n0 est équivalente à u(x)0. On résout donc l'équation u(x)0.

x, f(x)=(13x)3. 3 est impair.

On résout donc, pour tout réel x :

(13x)30

13x0

3x1

x13

Etape 2

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.

On obtient le signe de f(x) :

-
Méthode 4

Si f(x) n'est pas une expression simple

Si f(x) n'est pas une expression simple, il faut factoriser f(x) afin de se ramener à un produit ou un quotient de facteurs dont on est capable de déterminer le signe.

On considère une fonction f définie sur par x, f(x)=xx(2x2).

Etudier le signe de f(x) sur .

Etape 1

Factoriser f(x)

On repère un facteur commun afin de factoriser l'expression de f(x), et de l'exprimer en fonction d'expressions dont on sait déterminer le signe :

  • Une fonction affine
  • Un trinôme du second degré
  • Une fonction élevée à une puissance entière
  • Une expression dont on a déjà déterminée le signe dans des questions précédentes

On factorise l'expression avant d'étudier le signe. x est le facteur commun ici.

On en déduit que, pour tout réel x :

f(x)=xx(2x2)

f(x)=x[1(2x2)]

f(x)=x(x21)

Etape 2

Etudier le signe de chaque facteur

On étudie le signe des différents facteurs un à un.

On étudie le signe de chacun des facteurs :

  • x0 sur +
  • x210x21x1oux1
Etape 3

Dresser le tableau de signes de f(x)

On dresse un tableau de signes de chacun des facteurs de f(x) pour en déduire le signe de f(x).

On en déduit le tableau de signes de f(x) :

-
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