Première L 2015-2016

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Rechercher un bénéfice maximal

Une usine spécialisée dans la fabrication de moteurs de motos produit entre 0 et 5000 pièces par an.

Le coût total de fabrication de x pièces est donné par la fonction :

\(\displaystyle{C\left(x\right)=\dfrac{1}{15}x^3-25x^2+3\ 000x}\)

Le coût marginal est la dépense effectuée par l'usine pour la fabrication d'une pièce supplémentaire. Il est égal à :

\(\displaystyle{C_M\left(x\right)=C'\left(x\right)}\)

Le prix de vente unitaire P d'une pièce est déterminé en fonction de la demande x en nombre de pièces :

\(\displaystyle{P\left(x\right)=\dfrac{7}{2}x+3\ 900}\)

\(\displaystyle{R\left(x\right)}\) est la recette totale réalisée par la vente de x pièces. La recette marginale est la recette additionnelle engendrée par la vente d'une pièce supplémentaire; elle est égale à :

\(\displaystyle{R_M\left(x\right)=R'\left(x\right)}\)

1

Déterminer, en fonction de x, la recette réalisée par l'usine pour la vente de x pièces.

2

Pour quelles valeurs de x, la recette marginale \(\displaystyle{R_M\left(x\right)}\) est elle égale au coût marginal \(\displaystyle{C_M\left(x\right)}\) ?

3

Déterminer, en fonction de x, le bénéfice de l'usine réalisé pour la vente de x pièces.

4

Calculer \(\displaystyle{B'\left(x\right)}\).

5

Montrer que le bénéfice est maximum lorsque la recette marginale est égale au coût marginal. Quelle est alors la valeur de ce bénéfice ?

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Chapitre 5 La dérivation
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La dérivation