Première L 2015-2016
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Première L 2015-2016

Les pourcentages

I

Proportion et pourcentage d'évolution

A

Proportion d'une partie par rapport à un tout

Proportion

Soit A une partie d'un ensemble fini E.

Si nE et nA sont respectivement les nombres d'éléments de E et de A, la proportion des éléments de A par rapport à E est le quotient :

p=nAnE

Dans une urne contenant 100 boules de différentes couleurs, il y a 70 boules rouges . La proportion de boules rouges est :

70100=0,7

Une proportion p est un nombre compris entre 0 et 1. Elle s'exprime souvent sous forme de pourcentage.

Si l'on écrit p=a100, on dit que le pourcentage de A par rapport à E est a%.

Une classe de 35 élèves contient 28 filles. La proportion de filles dans la classe est :

p=2835

Soit :

p=45=0,8=80100

Ainsi, la proportion de fille dans la classe est de 80%.

Une proportion n'a pas d'unité.

B

Pourcentage d'évolution

Taux et pourcentage d'évolution

Si une grandeur évolue d'une valeur Q1 à une valeur Q2 :

  • Le rapport Q2Q1Q1 s'appelle le taux d'évolution (ou la variation relative) de Q1 à Q2.
  • Soit t le nombre tel que Q2Q1Q1=t100. On dit que t% est le pourcentage d'évolution de Q1 à Q2 (ou que t% est le taux d'évolution de Q1 à Q2 ).

L'évolution peut être :

  • Une augmentation si le taux d'évolution est positif
  • Une diminution si le taux d'évolution est négatif

En 2009, il y avait Q1=256 élèves dans un établissement scolaire. En 2012, il y en avait Q2=448.

Le taux d'évolution entre Q1 et Q2 vaut :

Q2Q1Q1=448256256=192256=0,75=75100

Le pourcentage d'augmentation des élèves entre 2009 et 2012 est de 75 %.

Q2Q1Q1=t100 équivaut à Q2Q1=1+t100

Si Q2Q1Q1=75100 alors on a :

Q2Q1=1+75100=1,75

  • Augmenter une quantité Q de t%, revient à multiplier cette quantité par le nombre 1+t100.
  • Diminuer une quantité Q de t% revient à multiplier cette quantité par le nombre 1t100.

Le prix d'un produit est de 150 €. Il a augmenté de 8%. Pour déterminer le nouveau prix, on multiplie le prix initial par 1,08. Ainsi, le nouveau prix est égal à :

150×1,08=162

1+t100 et 1t100 s'appellent les coefficients multiplicateurs.

II

Evolutions et indices

A

Evolutions successives

Soit une quantité qui subit une évolution relative de taux t1 %, puis une évolution relative de t2 %. Cette quantité est alors multipliée par :

(1+t1100)×(1+t2100)

Si une quantité augmente de 20%, puis diminue de 30%, alors cette quantité est multipliée par :

(1+20100)×(130100)=1,2×0,7=0,84.

Pour déterminer le taux t% correspondant de cette évolution, il faut trouver t tel que :

0,84=1+t100

Ainsi :

t=16

Donc, une augmentation de 20% suivie d'une diminution de 30% correspond à une diminution de 16%.

B

Evolutions réciproques

Q1 et Q2 sont deux valeurs d'une même grandeur.

On définit deux évolutions réciproques :

  • Celle de Q1 à Q2
  • Celle de Q2 à Q1

On désigne par t % le taux d'évolution de Q1 à Q2 et par t % celui de Q2 à Q1. On a alors :

(1+t100)×(1+t100)=1.

On dit que t % est le taux d'évolution réciproque du taux t %.

-

Cette formule permet de déterminer la valeur de t en résolvant une équation d'inconnue t.

Quel est le taux réciproque t % d'une augmentation de 30% ?

On peut écrire :

(1+30100)×(1+t100)=1.

D'où :

1,3×(1+t100)=1.

En résolvant cette équation, on retrouve la valeur de t.

1+t100=11,3

t=100×(11,31)23

Le taux réciproque d'une hausse de 30% est une baisse de 23% environ.

C

Indices

Indice base 100

Soient Q1 et Q2 deux valeurs d'une même grandeur.

Définir "l'indice base 100 de cette grandeur correspondant à la valeur Q1 ", c'est associer à Q1 la valeur I1=100 et à Q2 la valeur I2 telles que I1 et I2 sont proportionnelles à Q1 et Q2.

I2I1=Q2Q1 soit I2=100×Q2Q1.

Le tableau ci-dessous représente l'évolution dans le temps du SMIC horaire brut en euros.

Année200020052011
SMIC6,418,039,00

Pour obtenir l'indice base 100 du SMIC horaire en 2000 pour l'année 2005, on effectue le calcul :

100×8,036,41125,3

L'indice pour l'année 2011 est :

100×96,41140,4

Les indices n'ont pas d'unité.

Les taux d'évolutions relatives pour la quantité Q et les taux d'évolutions relatives pour l'indice I sont égaux.

Grâce à cette propriété, la lecture de l'indice fournit alors très rapidement le pourcentage d'évolution de l'indice et ainsi celui de la grandeur.

Année200020052011
Indice100125,3140,4

Le tableau ci-dessus donnant l'indice base 100 en 2000 du SMIC permet de lire le pourcentage d'augmentation de l'indice de 2000 à 2005 (c'est-à-dire 25,3%) qui correspond aussi au pourcentage d'augmentation du SMIC.

De même, le pourcentage d'augmentation de l'indice de 2000 à 2011 (et donc du SMIC) est de 40,4%.

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