Première L 2015-2016

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Les pourcentages

Proportion

Soit \(\displaystyle{A}\) une partie d'un ensemble \(\displaystyle{E}\).

Si \(\displaystyle{n_E}\) et \(\displaystyle{n_A}\) sont respectivement les nombres d'éléments de \(\displaystyle{E}\) et de \(\displaystyle{A}\), la proportion des éléments de \(\displaystyle{A}\) par rapport à \(\displaystyle{E}\) est le quotient \(\displaystyle{p=\dfrac{n_A}{n_E}}\).

Taux et pourcentage d'évolution

Une grandeur évolue d'une valeur \(\displaystyle{Q_1}\) à une valeur \(\displaystyle{Q_2}\).

  • Le rapport \(\displaystyle{\dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}}\) s'appelle le taux d'évolution (ou la variation relative) de \(\displaystyle{Q_1}\) à \(\displaystyle{Q_2}\).
  • Soit \(\displaystyle{t}\) le nombre tel que \(\displaystyle{\dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}=\dfrac{t}{100}}\). On dit que \(\displaystyle{t\%}\) est le pourcentage d'évolution de \(\displaystyle{Q_1}\) à \(\displaystyle{Q_2}\) (ou que \(\displaystyle{t\%}\) est le taux d'évolution de \(\displaystyle{Q_1}\) à \(\displaystyle{Q_2}\) ).

Augmentation et diminution

  • Augmenter une quantité \(\displaystyle{Q}\) de \(\displaystyle{t\%}\), c'est lui ajouter \(\displaystyle{Q\times \dfrac{t}{100}}\), ou multiplier cette quantité par le nombre \(\displaystyle{1+\dfrac{t}{100}}\).
  • Diminuer une quantité \(\displaystyle{Q}\) de \(\displaystyle{t\%}\), c'est lui enlever \(\displaystyle{Q\times \dfrac{t}{100}}\), ou multiplier cette quantité par le nombre \(\displaystyle{1-\dfrac{t}{100}}\).

Evolutions successives

Soit une quantité qui subit une évolution relative de taux \(\displaystyle{t_1\text{ }\%}\), puis une évolution relative de \(\displaystyle{t_2\text{ }\%}\), alors cette quantité est multipliée par \(\displaystyle{\left( 1+\dfrac{t_1}{100} \right)\times\left( 1+ \dfrac{t_2}{100}\right)}\).

Evolutions réciproques

\(\displaystyle{Q_1}\) et \(\displaystyle{Q_2}\) sont deux valeurs d'une même grandeur.

On définit deux évolutions réciproques : celle de \(\displaystyle{Q_1}\) à \(\displaystyle{Q_2}\) et celle de \(\displaystyle{Q_2}\) à \(\displaystyle{Q_1}\).

On désigne par \(\displaystyle{t\text{ }\%}\) le taux d'évolution de \(\displaystyle{Q_1}\) à \(\displaystyle{Q_2}\) et par \(\displaystyle{t'\text{ }\%}\) celui de \(\displaystyle{Q_2}\) à \(\displaystyle{Q_1}\), on a alors :

\(\displaystyle{\left( 1+\dfrac{t}{100} \right)\times\left( 1+ \dfrac{t'}{100}\right)=1}\).

on dit que \(\displaystyle{t'\text{ }\%}\) est le taux d'évolution réciproque du taux \(\displaystyle{t\text{ }\%}\).