Première L 2015-2016
Kartable
Première L 2015-2016

Déterminer la moyenne, la variance et l'écart-type d'une série statistique

La moyenne d'une série statistique, notée x, donne la valeur prise en moyenne dans la série. La variance, notée V, et l'écart-type, noté σ, donnent une évaluation de l'écart des valeurs prises par rapport à la moyenne.

Lorsqu'une série statistique est donnée, on sait calculer ces trois grandeurs.

On donne la série statistique suivante :

xi1234567
ni3 11109 114 1

Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type de cette série.

Etape 1

Calculer les xini et les (xi)2ni

Dans le tableau statistique, on donne les valeurs xi et les effectifs ni. On ajoute une ligne dans laquelle on calcule les produits xini et une ligne dans laquelle on calcule les produits ni(xi)2.

On complète le tableau :

xi1234567
ni3 11109 114 1
nixi322

30

3655247
ni(xi)23449014427514449
Etape 2

Calculer x

On applique la formule x=1Nxini et on simplifie l'expression obtenue.

On a x=1Nxini.

Or d'après le tableau :

  • N=ni=3+11+10+9+11+4+1=49
  • xini=3+22+30+36+55+24+7=177

D'où :

x=149×177

x3,6

Etape 3

Calculer V et σ

On applique la formule V=1N(xi)2ni(x)2 et on simplifie l'expression.

On calcule ensuite σ=V.

On a V=1N(xi)2ni(x)2.

Or d'après le tableau :

  • N=ni=3+11+10+9+11+4+1=49
  • (xi)2ini=3+44+90+144+275+144+49=749

On a aussi : x=17749

D'où :

V=149×749(17749)2

V2,2

Et :

σ=149×749(17749)2

σ1,5

Lorsqu'une série est répartie en classes, on prend les centres de chaque classe comme valeurs pour les xi. On peut ajouter cette ligne dans le tableau statistique pour plus de lisibilité.

Remplacer chaque classe par son centre lors du calcul de la moyenne, de la variance et de l'écart-type revient à faire l'hypothèse que les valeurs sont régulièrement réparties dans chaque classe. Tous les calculs sont du coup des résultats approchés puisqu'ils sont obtenus sous cette hypothèse.

Taille (en cm)[140;150[[150;156[[156;160[[160;180[
Centre de la classe xi145153158170
Effectif ni311109
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