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Déterminer si un échantillon est représentatif d'une population

Afin de déterminer si un échantillon est représentatif d'une population, on calcule l'intervalle I de fluctuation au seuil de 95% ainsi que la fréquence f dans l'échantillon. Si \(\displaystyle{f \in I}\), alors l'échantillon est représentatif de la population.

Un candidat A à une élection affirme que 52% des électeurs vont voter pour lui. Pour contrôler cette affirmation, on interroge 200 électeurs au hasard. Parmi eux, 88 vont voter pour le candidat A.

Si le candidat A a raison, l'échantillon est-il représentatif de la population ?

Etape 1

Calculer l'intervalle de fluctuation

On justifie que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on détermine les paramètres n et p.

À l'aide de la calculatrice, on détermine ensuite les valeurs a et b, avec a est le plus petit entier tel que \(\displaystyle{p\left(X \leq a\right) \gt 0,025}\) et b le plus petit entier tel que \(\displaystyle{p\left(X \leq b\right) \geq 0,975}\).

On en déduit l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est \(\displaystyle{I=\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]}\).

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre d'électeurs votant pour le candidat A, dans un échantillon aléatoire d'électeurs de taille \(\displaystyle{n=200}\). On assimile ce tirage à un tirage avec remise. Donc X suit une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=200}\) et \(\displaystyle{p=0,52}\).

À l'aide de la calculatrice, on détermine que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des électeurs votant pour le candidat A dans un échantillon de taille 200 est : \(\displaystyle{I=\left[ 0,45 ; 0,59\right]}\).

Etape 2

Calculer la fréquence dans l'échantillon

On calcule la fréquence dans l'échantillon.

Dans l'échantillon, 88 électeurs sur 200 vont voter pour le candidat A. On en déduit que :

\(\displaystyle{f= \dfrac{88}{200} = 0,44}\)

Etape 3

Conclure

Deux cas sont possibles :

  • Si \(\displaystyle{f \in I}\), alors l'échantillon est représentatif de la population.
  • Si \(\displaystyle{f \notin I}\), alors l'échantillon n'est pas représentatif de la population.

On a \(\displaystyle{f= 0,44}\) et \(\displaystyle{I=\left[ 0,45 ; 0,59\right]}\).

Donc \(\displaystyle{f \notin I}\).

On en conclut que l'échantillon n'est pas représentatif de la population.

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