Première S 2016-2017

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Démontrer un alignement grâce aux angles orientés

On considère la figure ci-dessous composée d'un carré ABCD tel que \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}\right) = \dfrac{\pi}{2}\left[ 2\pi \right]}\) et de deux triangles équilatéraux AEB et BCF tels que \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{EA}; \overrightarrow{EB}\right) = \dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]}\) et \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{FC}; \overrightarrow{FB}\right) = \dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]}\).

-

On se propose de démontrer que les points D, E et F sont alignés en utilisant les propriétés des angles orientés.

1

Démontrer que les triangles ADE et EFB sont isocèles.

2

Déterminer une mesure de l'angle orienté \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF} \right)}\), puis en déduire une mesure de l'angle orienté \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{EF} \right)}\).

3

Démontrer que \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EA} \right) = \dfrac{5\pi}{12}\left[ 2\pi \right]}\).

4

Utiliser la relation de Chasles pour déterminer une mesure de \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{ED};\overrightarrow{EF} \right)}\) puis conclure.

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Chapitre 6 La trigonométrie
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