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Résoudre une équation de type cos(kx)=a

Afin de résoudre une équation de type \(\displaystyle{\cos \left(kx\right) = a}\) sur un intervalle I, on se ramène à une équation du type \(\displaystyle{\cos \left(kx\right) = \cos \left(\alpha\right)}\) puis on s'aide du cercle trigonométrique afin de déterminer les solutions appartenant à I.

Résoudre l'équation \(\displaystyle{\cos \left(2x\right) = -\dfrac {1}{2}}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 1

Se ramener à une équation du type \(\displaystyle{\cos\left(kx\right)=\cos\left(\alpha\right)}\)

Si ce n'est pas déjà le cas, on se ramène à une équation du type \(\displaystyle{\cos\left(kx\right) = \cos\left(\alpha\right)}\) à l'aide des valeurs remarquables de cos.

On remarque que :

\(\displaystyle{-\dfrac{1}{2} = \cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)

L'équation devient donc :

\(\displaystyle{\cos\left(2x\right) = \cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)

Etape 2

Énoncer les différentes solutions

On trace la droite d'équation \(\displaystyle{x = a}\) sur le cercle trigonométrique.

L'intersection de cette droite avec le cercle donne les solutions de l'équation \(\displaystyle{\cos\left(kx\right) = \cos\left(\alpha\right) }\).

-

On en déduit que :

\(\displaystyle{\cos\left(kx\right) =\cos\left(\alpha\right) \Leftrightarrow\begin{cases} kx = \alpha +k2\pi \cr \cr kx=-\alpha +k2\pi \end{cases}}\)

On trace la droite \(\displaystyle{x =-\dfrac{1}{2}}\) sur le cercle trigonométrique.

-

On en déduit que, pour tout réel x :

\(\displaystyle{\cos\left(2x\right) =\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\begin{cases} 2x = \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi \cr \cr 2x=-\dfrac{2\pi}{3} +2k\pi \end{cases}}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\)

Donc, pour tout réel x :

\(\displaystyle{\cos\left(2x\right) =\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\begin{cases} x = \dfrac{\pi}{3}+k\pi \cr \cr x=-\dfrac{\pi}{3} +k\pi \end{cases}}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\)

Etape 3

Conclure

On conclut en donnant les solutions appartenant à l'intervalle I.

Ici, on cherche les solutions sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). On en conclut que :

\(\displaystyle{S =\left\{ -\dfrac{\pi}{3}+k\pi\ ,\ k\in\mathbb{Z} ; \dfrac{\pi}{3}+k\pi\ ,\ k\in\mathbb{Z} \right\} }\)

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