Première S 2016-2017
Kartable
Première S 2016-2017

Résoudre une équation de type cos(kx)=a

Afin de résoudre une équation de type cos(kx)=a sur un intervalle I, on se ramène à une équation du type cos(kx)=cos(α) puis on s'aide du cercle trigonométrique afin de déterminer les solutions appartenant à I.

Résoudre l'équation cos(2x)=12 sur .

Etape 1

Se ramener à une équation du type cos(kx)=cos(α)

Si ce n'est pas déjà le cas, on se ramène à une équation du type cos(kx)=cos(α) à l'aide des valeurs remarquables de cos.

On remarque que :

12=cos(2π3)

L'équation devient donc :

cos(2x)=cos(2π3)

Etape 2

Énoncer les différentes solutions

On trace la droite d'équation x=a sur le cercle trigonométrique.

L'intersection de cette droite avec le cercle donne les solutions de l'équation cos(kx)=cos(α).

-

On en déduit que :

cos(kx)=cos(α)kx=α+k2πkx=α+k2π

On trace la droite x=12 sur le cercle trigonométrique.

-

On en déduit que, pour tout réel x :

cos(2x)=cos(2π3)2x=2π3+2kπ2x=2π3+2kπ, k

Donc, pour tout réel x :

cos(2x)=cos(2π3)x=π3+kπx=π3+kπ, k

Etape 3

Conclure

On conclut en donnant les solutions appartenant à l'intervalle I.

Ici, on cherche les solutions sur . On en conclut que :

S={π3+kπ , k;π3+kπ , k}

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