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Le produit scalaire

Produit scalaire et angle

Soient \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) deux vecteurs non nuls.
On appelle produit scalaire des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\), noté \(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}\), le réel :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)}\)

Produit scalaire et projeté orthogonal

Cas 1

Si \(\displaystyle{H \in \left[AB\right)}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH}\)

-
Cas 2

Si \(\displaystyle{H \notin \left[AB\right)}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - AB \times AH}\)

-

Formule analytique du produit scalaire

Le produit scalaire des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix}}\) est égal à :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'}\)

Produit scalaire et normes

Soient \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) deux vecteurs :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}\|^{2} + \|\overrightarrow{v}\|^{2} -\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\|^{2}\right)}\)

ou :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^{2} - \|\overrightarrow{u}\|^{2} - \|\overrightarrow{v}\|^{2}\right)}\)

Théorème de la médiane

Soient A et B deux points distincts fixés et I le milieu du segment [AB].

Pour tout point M du plan, on a :

\(\displaystyle{MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}}\)

-

Théorème d'Al-Kashi

Dans tout triangle ABC, avec les notations de la figure ci-dessous :

  • \(\displaystyle{a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}}\)
  • \(\displaystyle{b^2=c^2+a^2-2ca\cos\widehat{B}}\)
  • \(\displaystyle{c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat{C}}\)
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