Première S 2016-2017

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Déterminer la longueur d'un troisième côté dans un triangle quelconque

Lorsque, dans un triangle quelconque, on connaît les longueurs a et b de deux côtés ainsi que l'angle adjacent à ces deux côtés, on peut calculer la longueur c du troisième côté en utilisant le théorème d'Al-Kashi.

On considère le triangle ABC suivant tel que \(\displaystyle{b = 2}\), \(\displaystyle{c=4}\) et \(\displaystyle{\widehat{A}= \dfrac{\pi}{4}}\).

-

Calculer la longueur du côté a.

Etape 1

Énoncer la formule d'Al-Kashi

D'après le cours, pour tout triangle avec les notations ci-dessous, on sait que :

  • \(\displaystyle{a^2 = b^2+c^2-2bc \times cos\widehat{A}}\)
  • \(\displaystyle{b^2 = a^2+c^2-2ac \times cos\widehat{B}}\)
  • \(\displaystyle{c^2 = a^2+b^2-2ab \times cos\widehat{C}}\)
-

On énonce la formule nécessaire.

D'après le cours, on sait que :

\(\displaystyle{a^2 = b^2+c^2-2bc \times cos\widehat{A}}\)

Etape 2

Repérer les mesures nécessaires

On identifie les mesures des deux côtés ainsi que de l'angle qui sont connus.

Trois cas sont possibles :

  • L'énoncé donne les mesures de a, b et \(\displaystyle{\widehat{C}}\) et on cherche c.
  • L'énoncé donne les mesures de a, c et \(\displaystyle{\widehat{B}}\) et on cherche b.
  • L'énoncé donne les mesures de a, b et \(\displaystyle{\widehat{A}}\) et on cherche c.

Ici, on a :

  • \(\displaystyle{b=2}\)
  • \(\displaystyle{c=4}\)
  • \(\displaystyle{\widehat{A} = \dfrac{\pi}{4}}\)
Etape 3

Appliquer la formule

On remplace les mesures des deux côtés et de l'angle connus dans la formule afin de trouver la valeur de la troisième mesure.

On en déduit que :

\(\displaystyle{a^2 = 2^2+4^2-2\times 2 \times 4 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\)

\(\displaystyle{a^2 =4+16-16\times \dfrac{\sqrt2}{2}}\)

Soit :

\(\displaystyle{a^2 =20-8\times \sqrt2}\)

\(\displaystyle{a =\sqrt{20-8\times \sqrt2}}\)

Finalement :

\(\displaystyle{a \approx 2,95}\)

Chapitre 9 Le produit scalaire
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