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Donner le sens de variation d'une fonction de référence à laquelle on ajoute un réel

Le sens de variation d'une fonction de référence à laquelle on ajoute une constante n'est pas modifié.

Soit f la fonction, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right) =x^2-8}\).

Déterminer le sens de variation de f.

Etape 1

Identifier la fonction usuelle

On identifie la fonction usuelle g telle que \(\displaystyle{f\left(x\right) = g\left(x\right) +k}\).

La fonction usuelle utilisée dans l'expression de f est la fonction \(\displaystyle{x\longmapsto x^2}\).

Etape 2

Dresser son tableau de variations

On dresse le tableau de la fonction usuelle g.

On dresse le tableau de variations de la fonction carrée \(\displaystyle{x\longmapsto x^2}\) :

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Etape 3

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que pour tout réel k, la fonction \(\displaystyle{g+k}\) possède le même sens de variation que la fonction g.

On sait que pour tout réel x, \(\displaystyle{f\left(x\right) =g\left(x\right) -8}\), avec \(\displaystyle{g\left(x\right) = x^2}\)

Or la fonction g et la fonction \(\displaystyle{g+k}\), avec \(\displaystyle{k\in \mathbb{R}}\), ont les mêmes variations.

Donc la fonction f possède le même sens de variation que la fonction \(\displaystyle{x\longmapsto x^2}\).

Etape 4

Calculer éventuellement le nouvel extremum

Si la fonction g possède un extremum égal à m alors la fonction f possède un extremum égal à \(\displaystyle{m+k}\), avec \(\displaystyle{m \in\mathbb{R}}\) et \(\displaystyle{k \in\mathbb{R}}\).

Ici, d'après son tableau de variations, \(\displaystyle{g\left(0\right) =0}\).

On en déduit que l'extremum de la fonction f est égal à :

\(\displaystyle{f\left(0\right) = 0-8 = -8}\).

Etape 5

Dresser le tableau de variations de la fonction

On dresse le tableau de variations de la fonction f.

On en déduit le tableau de variations de f :

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