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Donner le sens de variation de l'inverse d'une fonction

On sait déterminer le sens de variation de \(\displaystyle{f=\dfrac{1}{g}}\)g est une fonction aux variations connues.

Soit la fonction f définie sur son ensemble de définition par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{3x-4}}\)

Donner le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

Etape 1

Déterminer le domaine de définition de la fonction

D'après le cours, on sait que \(\displaystyle{\dfrac{1}{u\left(x\right)}}\) existe si et seulement si \(\displaystyle{u\left(x\right) \neq 0}\).

On résout donc l'équation \(\displaystyle{u\left(x\right) = 0}\) pour déterminer l'ensemble de définition de f.

La fonction f est définie si et seulement si \(\displaystyle{3x-4 \neq 0}\).

On résout donc dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'équation \(\displaystyle{3x-4 = 0}\).

On obtient :

\(\displaystyle{x= \dfrac{4}{3}}\)

On en déduit que le domaine de définition de f est : \(\displaystyle{D_f = \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{4}{3} \right\}}\) ou \(\displaystyle{D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{4}{3}\right\}}\).

Etape 2

Identifier la fonction usuelle

On donne l'expression de la fonction usuelle u telle que \(\displaystyle{f = \dfrac{1}{u}}\).

On a \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{4}{3}\right\}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{u\left(x\right)}}\), avec \(\displaystyle{u\left(x\right) = 3x-4}\).

Etape 3

Dresser le tableau de variations de u en précisant le signe de \(\displaystyle{u\left(x\right)}\)

On dresse le tableau de variations de la fonction usuelle u et on fait apparaître les zéros de cette fonction.

u est une fonction affine de coefficient directeur positif. Donc u est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

De plus, pour tout réel x :

\(\displaystyle{u\left(x\right)=0\Leftrightarrow 3x-4=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{4}{3}}\)

On obtient donc le tableau de variations suivant :

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Etape 4

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que les fonctions u et \(\displaystyle{f=\dfrac{1}{u}}\) ont des sens de variation contraires sur tout intervalle où \(\displaystyle{u\left(x\right)}\) est de signe constant.

D'après le cours, on sait que les fonctions u et \(\displaystyle{f=\dfrac{1}{u}}\) ont des sens de variation contraires sur tout intervalle où \(\displaystyle{u\left(x\right)\gt0}\).
De même, on sait que les fonctions u et \(\displaystyle{f=\dfrac{1}{u}}\) ont des sens de variation contraires sur tout intervalle où \(\displaystyle{u\left(x\right)\lt0}\).

  • Sur \(\displaystyle{\left] -\infty;\dfrac{4}{3} \right[}\), u est strictement croissante et \(\displaystyle{u\left(x\right)\lt0}\). Donc f est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty;\dfrac{4}{3} \right[}\).
  • Sur \(\displaystyle{\left] \dfrac{4}{3};+\infty \right[}\), u est strictement croissante et \(\displaystyle{u\left(x\right)\gt0}\). Donc f est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left] \dfrac{4}{3};+\infty \right[}\).
Etape 5

Calculer éventuellement le nouvel extremum

Si la fonction u possède un extremum et que son abscisse appartient à l'ensemble de définition de f, on détermine le nouvel extremum de la fonction f.

Sinon on détermine les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition de f.

La fonction u étant une fonction affine, elle n'admet pas d'extremum sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Donc la fonction f n'admet pas d'extremum sur \(\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ \dfrac{4}{3} \right\}}\).

Etape 6

Dresser le tableau de variations de la fonction

On dresse le tableau de variations de la fonction f.

On en déduit le tableau de variations de f :

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