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Donner le sens de variation de la racine carrée d'une fonction

On sait déterminer le sens de variation de \(\displaystyle{f=\sqrt{g}}\)g est une fonction aux variations connues.

Soit la fonction f définie sur son ensemble de définition par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \sqrt{x^2-x-12}}\)

Donner le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

Etape 1

Déterminer le domaine de définition de la fonction

D'après le cours, on sait que \(\displaystyle{\sqrt{u\left(x\right)}}\) existe si et seulement si \(\displaystyle{u\left(x\right) \geq 0}\).

On résout donc \(\displaystyle{u\left(x\right) \geq 0}\). On conclut sur le domaine de définition de la fonction.

La fonction f est définie si et seulement si \(\displaystyle{x^2-x-12\geqslant 0}\).

On détermine donc le signe du trinôme du second degré. Pour cela, on calcule le discriminant :

\(\displaystyle{\Delta = b^2-4ac}\)

\(\displaystyle{\Delta = \left(-1\right)^2-4\times 1 \times \left(-12\right)}\)

\(\displaystyle{\Delta = 49}\)

\(\displaystyle{\Delta \gt 0}\) donc le trinôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle déterminé par les racines et du signe de -a à l'intérieur.

On détermine les racines :

  • \(\displaystyle{x_1 = \dfrac{-b-\Delta}{2a} = \dfrac{1-7}{2} = -3}\)
  • \(\displaystyle{x_2 = \dfrac{-b-\Delta}{2a} = \dfrac{1+7}{2} =4}\)

On obtient le tableau de signes suivant :

-

Donc la fonction f est définie sur \(\displaystyle{\left] -\infty ; -3\right] \cup \left[ 4;+\infty \right[}\).

Etape 2

Identifier la fonction usuelle

On identifie la fonction usuelle u telle que \(\displaystyle{f\left(x\right) = \sqrt{u\left(x\right)}}\).

On a \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\) et \(\displaystyle{f\left(x\right) = \sqrt{u\left(x\right)}}\) avec \(\displaystyle{u\left(x\right) = x^2-x-12}\).

Etape 3

Dresser son tableau de variations

On dresse le tableau de variations de la fonction u.

Comme u est une fonction trinôme du second degré ayant son coefficient de degré 2 strictement positif, alors elle est strictement décroissante puis strictement croissante.

On détermine les coordonnées du sommet \(\displaystyle{S\left(x_S;y_S\right)}\) :

  • \(\displaystyle{x_s =-\dfrac{b}{2a}}\) donc \(\displaystyle{x_s =\dfrac{1}{2}}\)
  • \(\displaystyle{y_s= f\left(x_s\right)}\) donc \(\displaystyle{y_s= \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{1}{2}\right)-12}\), finalement \(\displaystyle{y_s= -12,25}\)

Ainsi, le point S a pour coordonnées \(\displaystyle{\left(0,5;-12,25\right)}\).

On peut alors dresser le tableau de variations de u :

-
Etape 4

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que, les fonctions u et \(\displaystyle{f=\sqrt{u}}\) ont le même sens de variation.

D'après le cours, on sait que, les fonctions u et \(\displaystyle{f=\sqrt{u}}\) ont le même sens de variation.

Etape 5

Calculer éventuellement le nouvel extremum

Si la fonction u possède un extremum et que son abscisse appartient à l'ensemble de définition de f, on détermine le nouvel extremum de la fonction f.

Sinon on détermine les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition de f.

On a \(\displaystyle{D_f = \left] -\infty ; -3\right] \cup \left[ 4;+\infty \right[}\) et l'abscisse du sommet de u vaut \(\displaystyle{\dfrac{1}{2} \notin D_f}\).

On détermine donc les valeurs aux bornes de \(\displaystyle{D_f}\) :

  • \(\displaystyle{f\left(-3\right) = \sqrt {\left(-3\right)^2-\left(-3\right)-12} = 0}\)
  • \(\displaystyle{f\left(4\right) = \sqrt {\left(4\right)^2-4-12} = 0}\)
Etape 6

Dresser le tableau de variations de la fonction

On dresse enfin le tableau de variations de la fonction f.

On en déduit le tableau de variations de f :

-

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