Première S 2016-2017

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Calculer une somme de termes consécutifs d'une suite

Méthode 1

Si l'on reconnaît la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

On sait calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Calculer la somme suivante :

\(\displaystyle{S= \sum_{k=0}^n \left(3k-2\right)}\)

Etape 1

Identifier le terme général de la suite

On identifie que, \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{S_n = \sum_{k=0}^{n}u_k}\) avec \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) une suite arithmétique dont on précise la raison et le premier terme.

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), on note \(\displaystyle{u_n= 3n-2}\).

\(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est une suite arithmétique de raison \(\displaystyle{r=3}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0 =-2}\).

Ainsi \(\displaystyle{S = \sum _{k=0}^n u_k}\).

Etape 2

Rappeler la formule

On rappelle que, d'après le cours, si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est une suite arithmétique, alors :

\(\displaystyle{\sum u_k = \dfrac{\left(premier \; terme + dernier \; terme\right)\times \left(nombre \; de \; termes\right)}{2}}\)

D'après le cours, la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à :

\(\displaystyle{\sum u_k = \dfrac{\left(premier \; terme + dernier \; terme\right)\times \left(nombre \; de \; termes\right)}{2}}\)

Etape 3

Appliquer la formule

On identifie alors et on calcule :

  • Le premier terme demandé (souvent \(\displaystyle{u_0}\) ) ;
  • Le dernier terme demandé (souvent \(\displaystyle{u_n}\) ) ;
  • Le nombre de termes.

Le nombre de termes entre \(\displaystyle{u_p}\) et \(\displaystyle{u_n }\) est \(\displaystyle{n-p+1}\).

Entre \(\displaystyle{u_{10}}\) et \(\displaystyle{u_{20}}\), le nombre de termes est égal à :

\(\displaystyle{N = 20-10 +1 =11}\).

Ici :

  • Le premier terme demandé est \(\displaystyle{u_0=-2}\).
  • Le dernier terme demandé est \(\displaystyle{u_n = 3n-2}\).
  • Le nombre de termes entre 0 et n vaut \(\displaystyle{n+1}\).

On obtient :

\(\displaystyle{S = \dfrac{\left(-2+3n-2\right)\left(n+1\right)}{2}}\).

\(\displaystyle{S = \dfrac{\left(3n-4\right)\left(n+1\right)}{2}}\)

Méthode 2

Si l'on reconnaît la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

On sait calculer la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique.

Calculer la somme suivante :

\(\displaystyle{S= \sum_{k=1}^n 3 \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^k}\)

Etape 1

Identifier le terme général de la suite

On identifie que, \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{S_n = \sum_{k=0}^{k=n}u_k}\), avec \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) une suite géométrique dont on précise la raison et le premier terme.

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), on note \(\displaystyle{u_n= 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}\).

\(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q= \dfrac{1}{2}}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0 =3}\).

Ainsi, \(\displaystyle{S = \sum _{k=1}^n u_k}\).

Etape 2

Rappeler la formule

On rappelle que, d'après le cours, si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q \neq 1}\), alors :

\(\displaystyle{\sum u_k =premier \; terme \times \dfrac{ 1-q^{nombre \; de \; termes}}{1-q}}\)

La somme des termes d'une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q \neq 1}\) est égale à :

\(\displaystyle{\sum u_k =premier \; terme \times \dfrac{ 1-q^{nombre \; de \; termes}}{1-q}}\)

Etape 3

Appliquer la formule

On identifie alors et, si nécessaire, on calcule :

  • Le premier terme demandé (souvent \(\displaystyle{u_0}\) )
  • La raison
  • Le nombre de termes

Le nombre de termes entre \(\displaystyle{u_p}\) et \(\displaystyle{u_n }\) est \(\displaystyle{n-p+1}\).

Le nombre de termes entre \(\displaystyle{u_{10}}\) et \(\displaystyle{u_{20}}\) est égal à :

\(\displaystyle{N = 20-10 +1 =11}\)

Ici, on a :

  • Le premier terme demandé est \(\displaystyle{u_1 = 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^1 =\dfrac{3}{2}}\).
  • La raison est \(\displaystyle{q= \dfrac{1}{2}}\).
  • Le nombre de termes entre 1 et n est égal à n.

Ainsi :

\(\displaystyle{S = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}}}\)

\(\displaystyle{S = 3 \times \left[ 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \right]}\)

Méthode 3

Si le terme général de la somme peut être séparé en un morceau géométrique et un morceau arithmétique ou une constante

On peut calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique. On peut donc déterminer la somme d'une suite présentant une partie arithmétique et l'autre géométrique.

Calculer la somme suivante :

\(\displaystyle{S = \sum_{k=0}^n \left[ 2k+3-4\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^k \right]}\)

Etape 1

Simplifier le terme général

Dans le terme général de la somme, on identifie une partie arithmétique et une partie géométrique.

Si on cherche \(\displaystyle{\sum w_k}\), on écrit que \(\displaystyle{w_k = u_k +v_k}\) avec :

  • \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) une suite arithmétique dont on précise le premier terme et la raison.
  • \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) une suite géométrique dont on précise le premier terme et la raison.

On pose, \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\) \(\displaystyle{u_n = 3+2n}\) et \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{v_n= -4\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n}\).

On remarque que, \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{w_n = 3+2n -4 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = u_n+v_n}\), où :

  • \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est une suite arithmétique de raison \(\displaystyle{r=2}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0 =3}\).
  • \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) est une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q= \dfrac{1}{3}}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0 =-4}\).
Etape 2

Utiliser la linéarité

On applique la linéarité de la somme :

\(\displaystyle{\sum w_k =\sum \left(u_k+v_k\right)= \sum u_k + \sum v_k}\)

On a :

\(\displaystyle{S = \sum_{k=0}^n\left(u_k+v_k\right)}\)

Donc par linéarité de la somme :

\(\displaystyle{S = \sum_{k=0}^n u_k+ \sum_{k=0}^n v_k}\)

Etape 3

Calculer les sommes séparément

On calcule séparément :

  • \(\displaystyle{\sum u_k}\), la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.
  • \(\displaystyle{\sum v_k}\), la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique.

Comme \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est arithmétique, on sait que :

\(\displaystyle{\sum u_k = \dfrac{\left(premier \; terme + dernier \; terme\right)\times \left(nombre \; de \; termes\right)}{2}}\)

Ici :

  • Le premier terme demandé est \(\displaystyle{u_0=3}\).
  • Le dernier terme demandé est \(\displaystyle{u_n = 3+2n}\).
  • Le nombre de termes entre 0 et n vaut \(\displaystyle{n+1}\).

On obtient :

\(\displaystyle{\sum u_k = \dfrac{\left(3+3+2n\right)\left(n+1\right)}{2}}\).

\(\displaystyle{\sum u_k = \dfrac{\left(2n+6\right)\left(n+1\right)}{2}}\)

\(\displaystyle{\sum u_k = \left(n+3\right)\left(n+1\right)}\)

Comme \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) est géométrique, on sait que :

\(\displaystyle{\sum v_k =premier \; terme \times \dfrac{ 1-q^{nombre \; de \; termes}}{1-q}}\)

Ici :

  • Le premier terme demandé est \(\displaystyle{v_0=-4}\).
  • La raison est \(\displaystyle{q=\dfrac{1}{3}}\)
  • Le nombre de termes entre 0 et n vaut \(\displaystyle{n+1}\).

On obtient :

\(\displaystyle{\sum v_k = -4\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}}}\)

\(\displaystyle{\sum v_k = -4\times\dfrac{3}{2} \times \left[ 1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right]}\)

\(\displaystyle{\sum v_k = -6 \times \left[ 1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right]}\)

Etape 4

Conclure

On peut alors donner la valeur de \(\displaystyle{\sum w_k}\) en additionnant les deux résultats précédents.

On obtient finalement :

\(\displaystyle{S = \sum u_k + \sum v_k }\)

\(\displaystyle{S =\left(n+3\right)\left(n+1\right) -6 \times \left[ 1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} \right]}\)