Première S 2016-2017
Kartable
Première S 2016-2017

Calculer une somme de termes consécutifs d'une suite

Méthode 1

Si l'on reconnaît la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

On sait calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Calculer la somme suivante :

S=k=0n(3k2)

Etape 1

Identifier le terme général de la suite

On identifie que, n, Sn=k=0nuk avec (un) une suite arithmétique dont on précise la raison et le premier terme.

n, on note un=3n2.

(un) est une suite arithmétique de raison r=3 et de premier terme u0=2.

Ainsi S=k=0nuk.

Etape 2

Rappeler la formule

On rappelle que, d'après le cours, si (un) est une suite arithmétique, alors :

uk=(premierterme+dernierterme)×(nombredetermes)2

D'après le cours, la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à :

uk=(premierterme+dernierterme)×(nombredetermes)2

Etape 3

Appliquer la formule

On identifie alors et on calcule :

  • Le premier terme demandé (souvent u0 ) ;
  • Le dernier terme demandé (souvent un ) ;
  • Le nombre de termes.

Le nombre de termes entre up et un est np+1.

Entre u10 et u20, le nombre de termes est égal à :

N=2010+1=11.

Ici :

  • Le premier terme demandé est u0=2.
  • Le dernier terme demandé est un=3n2.
  • Le nombre de termes entre 0 et n vaut n+1.

On obtient :

S=(2+3n2)(n+1)2.

S=(3n4)(n+1)2

Méthode 2

Si l'on reconnaît la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

On sait calculer la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique.

Calculer la somme suivante :

S=k=1n3×(12)k

Etape 1

Identifier le terme général de la suite

On identifie que, n, Sn=k=0k=nuk, avec (un) une suite géométrique dont on précise la raison et le premier terme.

n, on note un=3×(12)n.

(un) est une suite géométrique de raison q=12 et de premier terme u0=3.

Ainsi, S=k=1nuk.

Etape 2

Rappeler la formule

On rappelle que, d'après le cours, si (un) est une suite géométrique de raison q1, alors :

uk=premierterme×1qnombredetermes1q

La somme des termes d'une suite géométrique de raison q1 est égale à :

uk=premierterme×1qnombredetermes1q

Etape 3

Appliquer la formule

On identifie alors et, si nécessaire, on calcule :

  • Le premier terme demandé (souvent u0 )
  • La raison
  • Le nombre de termes

Le nombre de termes entre up et un est np+1.

Le nombre de termes entre u10 et u20 est égal à :

N=2010+1=11

Ici, on a :

  • Le premier terme demandé est u1=3×(12)1=32.
  • La raison est q=12.
  • Le nombre de termes entre 1 et n est égal à n.

Ainsi :

S=32×1(12)n112

S=3×[1(32)n]

Méthode 3

Si le terme général de la somme peut être séparé en un morceau géométrique et un morceau arithmétique ou une constante

On peut calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique. On peut donc déterminer la somme d'une suite présentant une partie arithmétique et l'autre géométrique.

Calculer la somme suivante :

S=k=0n[2k+34×(13)k]

Etape 1

Simplifier le terme général

Dans le terme général de la somme, on identifie une partie arithmétique et une partie géométrique.

Si on cherche wk, on écrit que wk=uk+vk avec :

  • (un) une suite arithmétique dont on précise le premier terme et la raison.
  • (vn) une suite géométrique dont on précise le premier terme et la raison.

On pose, nun=3+2n et n, vn=4×(13)n.

On remarque que, n, wn=3+2n4×(13)n=un+vn, où :

  • (un) est une suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme u0=3.
  • (vn) est une suite géométrique de raison q=13 et de premier terme u0=4.
Etape 2

Utiliser la linéarité

On applique la linéarité de la somme :

wk=(uk+vk)=uk+vk

On a :

S=k=0n(uk+vk)

Donc par linéarité de la somme :

S=k=0nuk+k=0nvk

Etape 3

Calculer les sommes séparément

On calcule séparément :

  • uk, la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.
  • vk, la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique.

Comme (un) est arithmétique, on sait que :

uk=(premierterme+dernierterme)×(nombredetermes)2

Ici :

  • Le premier terme demandé est u0=3.
  • Le dernier terme demandé est un=3+2n.
  • Le nombre de termes entre 0 et n vaut n+1.

On obtient :

uk=(3+3+2n)(n+1)2.

uk=(2n+6)(n+1)2

uk=(n+3)(n+1)

Comme (vn) est géométrique, on sait que :

vk=premierterme×1qnombredetermes1q

Ici :

  • Le premier terme demandé est v0=4.
  • La raison est q=13
  • Le nombre de termes entre 0 et n vaut n+1.

On obtient :

vk=4×1(13)n+1113

vk=4×32×[1(13)n+1]

vk=6×[1(13)n+1]

Etape 4

Conclure

On peut alors donner la valeur de wk en additionnant les deux résultats précédents.

On obtient finalement :

S=uk+vk

S=(n+3)(n+1)6×[1(13)n+1]

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