Première S 2016-2017

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Déterminer des réels a, b et c pour factoriser un polynôme

On a un polynôme P de degré 3 de coefficients connus.

Si on sait qu'elle existe, on peut déterminer les coefficients a, b et c de la forme factorisée de P tels que \(\displaystyle{P\left(x\right) =\left(x-x_0\right)\left(ax^2+bx+c\right)}\).

Soit le polynôme, défini par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{P\left(x\right) = 4x^3-2x^2-7x+5}\).

Déterminer les réels a, b et c tels que :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{P\left(x\right) = \left(x-1\right)\left(ax^2+bx+c\right)}\).

Etape 1

Développer l'expression comportant les inconnues

On a, \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{P\left(x\right) = \left(x-x_0\right)\left(ax^2+bx+c\right)}\).

On développe l'expression factorisée de P.

On a :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{P\left(x\right) = \left(x-1\right)\left(ax^2+bx+c\right)}\).

On développe l'expression factorisée de P :

\(\displaystyle{P\left(x\right) = ax^3+bx^2+cx -ax^2-bx-c}\)

Etape 2

Regrouper les termes par puissance de x

On regroupe les termes par puissance de x, puis on factorise par chaque puissance de x. On obtient une expression de la forme :

\(\displaystyle{P\left(x\right) =\left(...\right) x^3+\left(...\right) x^2+\left(...\right)x+ \left(...\right)}\)

On regroupe les termes par puissance de x :

\(\displaystyle{P\left(x\right) = ax^3+bx^2-ax^2-bx+cx -c}\)

\(\displaystyle{P\left(x\right) = \left(a\right)x^3+\left(b-a\right)x^2+\left(c-b\right)x+ \left(-c\right)}\)

Etape 3

Rappeler l'écriture du polynôme

On rappelle la forme développée du polynôme P dont les coefficients sont connus.

On rappelle que, \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{P\left(x\right) = 4x^3-2x^2-7x+5}\)

Etape 4

Poser le système

On a deux formes de polynôme différentes. On identifie les coefficients des termes de même degré qui doivent être égaux.

On obtient alors un système à quatre équations (une pour chaque coefficient).

On a, pour tout réel x,

  • \(\displaystyle{P\left(x\right)=ax^3+\left(b-a\right)x^2+\left(c-b\right)x -c}\)
  • \(\displaystyle{P\left(x\right)= 4x^3-2x^2 -7x +5}\)

On identifie terme à terme les coefficients de même degré qui doivent être égaux.

On obtient le système suivant :

\(\displaystyle{\begin{cases} a= 4\cr \cr b-a = -2 \cr \cr c-b =-7\cr \cr -c = 5\end{cases}}\)

Etape 5

Résoudre le système

On résout le système et on détermine les valeurs de a, b et c..

On résout :

\(\displaystyle{\begin{cases} a= 4\cr \cr b-a = -2 \cr \cr c-b =-7\cr \cr -c = 5\end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} a= 4 \cr \cr b = -2+a \cr \cr c = -5\end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} a= 4 \cr \cr b = 2 \cr \cr c = -5\end{cases}}\)

Etape 6

Conclure

On donne l'écriture de la forme factorisée de P en remplaçant a, b et c par les valeurs trouvées.

\(\displaystyle{P\left(x\right) = \left(x-x_0\right)\left(ax^2+bx+c\right)}\)

On en déduit l'écriture de la forme factorisée de P :

Pour tout réel x, \(\displaystyle{P\left(x\right) = \left(x-1\right)\left(4x^2+2x-5\right)}\)

Il est facile de vérifier le résultat obtenu en développant la forme factorisée de P et en comparant avec la forme développée.

On a trouvé :

\(\displaystyle{P\left(x\right) = \left(x-1\right)\left(4x^2+2x-5\right)}\)

On développe. Pour tout réel x :

\(\displaystyle{P\left(x\right) = 4x^3+2x^2-5x-4x^2-2x+5}\)

\(\displaystyle{P\left(x\right) = 4x^3-2x^2-7x+5}\)

C'est bien la forme développée de \(\displaystyle{P\left(x\right)}\), le résultat trouvé est donc correct.

Chapitre 1 Les trinômes du second degré
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