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Donner le tableau de variations d'une fonction trinôme

Une fonction trinôme est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et a une expression de la forme \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}\). On sait déterminer ses variations sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=-2x^2+4x-1}\).

Déterminer le tableau de variations de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 1

Déterminer le signe de a

On donne la valeur de a, coefficient de x2 dans le trinôme. On détermine son signe.

La fonction f est une fonction trinôme du second degré.

Pour tout réel x, \(\displaystyle{f\left(x\right)=-2x^2+4x-1}\).

On a \(\displaystyle{a=-2}\), donc \(\displaystyle{a<0}\).

Etape 2

Enoncer le sens de variation de f selon le signe de a

  • Si \(\displaystyle{a>0}\) alors la fonction est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty;\dfrac{-b}{2a} \right]}\) et strictement croissante sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{-b}{2a}; +\infty\right[}\)
  • Si \(\displaystyle{a<0}\) alors la fonction est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty;\dfrac{-b}{2a} \right]}\) et strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{-b}{2a}; +\infty\right[}\)

Ici, \(\displaystyle{a<0}\), la fonction est donc strictement croissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty;\dfrac{-b}{2a} \right]}\) et strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{-b}{2a}; +\infty\right[}\).

Etape 3

Calculer \(\displaystyle{\dfrac{-b}{2a}}\) et \(\displaystyle{f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)}\)

On calcule alors les coordonnées du sommet :

  • Son abscisse vaut \(\displaystyle{\dfrac{-b}{2a}}\)
  • Son ordonnée vaut \(\displaystyle{f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)}\)

On calcule les coordonnées du sommet.

  • \(\displaystyle{\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-4}{-4}=1}\)
  • \(\displaystyle{f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)=f\left(1\right)=-2\times1^2+4\times1-1=-2+4-1=1}\)

Le sommet de la parabole a pour coordonnées (1 ; 1).

Etape 4

Dresser le tableau de variations de f

On peut alors dresser le tableau de variations de f.

On obtient le tableau de variations de f :

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