Première S 2016-2017
Kartable
Première S 2016-2017

Résoudre une équation du second degré

Une équation du second degré est une équation pouvant se ramener à une équation de la forme ax2+bx+c=0, avec a0.

Résoudre dans l'équation : 2x23x+7=5x2+4x3

Etape 1

Passer tous les termes du même côté de l'égalité

Si ce n'est pas déjà le cas, on regroupe tous les termes dans le même membre de l'équation pour se ramener à une équation du type ax2+bx+c, avec a0.

On regroupe tous les termes du même côté de l'égalité. Pour tout réel x :

2x23x+7=5x2+4x3

2x23x+75x24x+3=0

3x27x+10=0

Etape 2

Résoudre l'équation obtenue précédemment

Il s'agit désormais de déterminer les racines, s'il en existe, du trinôme du second degré ax2+bx+c obtenu précédemment.
On calcule le discriminant Δ et on conclut :

  • Si Δ>0, l'équation admet deux racines réelles distinctes que l'on calcule :
    x1=bΔ2a et x2=b+Δ2a
  • Si Δ=0, l'équation admet une racine double que l'on calcule x0=b2a.
  • Si Δ<0, l'équation n'admet pas de racine réelle.

Avant d'utiliser la méthode de résolution d'une équation par calcul du discriminant, vérifier que le trinôme n'est pas directement factorisable (identité remarquable ou facteur commun par exemple).

Résoudre l'équation : 2x2+3x+2=x2+x+1

En regroupant tous les termes du même côté de l'égalité on obtient :

2x2+3x+2x2x1=0

d'où : x2+2x+1=0

On reconnaît l'identité remarquable (a+b)2=a2+2ab+b2 avec a=x et b=1

L'équation devient donc : (x+1)2=0

Elle a pour unique solution : x=1

Résoudre dans l'équation : 3x2+2x+2=x2x+2

En regroupant tous les termes du même côté de l'égalité on obtient :

3x2+2x+2x2+x2=0

Soit 3x2+3x=0

En factorisant on obtient :

3x(x+1)=0, équation qui admet deux solutions :

x=1 et x=0.

Déterminer les solutions de l'équation 2x23x+7=5x2+4x3 revient donc à résoudre l'équation :

3x27x+10=0

On commence par calculer le discriminant Δ, avec a=3, b=7 et c=10.

Δ=b24ac=(7)24×(3)×10=49+120=169=132

Δ>0, l'équation 3x27x+10=0 admet donc deux solutions réelles distinctes :

x1=b+Δ2a=(7)+1692×(3)=7+13(6)=206=103

x2=bΔ2a=(7)1692×(3)=7136=66=1

Les solutions de l'équation 2x23x+7=5x2+4x3 sont donc 103 et 1.

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