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Appliquer le second degré à un problème de géométrie

Difficulté
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Soient A, B et C trois points non alignés tels que ABC soit un triangle rectangle en A, \(\displaystyle{AB=12}\) et \(\displaystyle{AC=5}\). Le point M est un point du segment \(\displaystyle{\left[ AC \right]}\). On note \(\displaystyle{AM=x}\)\(\displaystyle{\left(0\leqslant x\leqslant 5\right)}\). A tout point M on associe un point N du segment \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\) tel que \(\displaystyle{BN=2x}\).

On note \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) l'aire du triangle AMN.

-
1

Calculer l'aire \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) de AMN.

2

Donner le tableau de variations de f et justifier qu'il existe une valeur de x telle que l'aire de AMN soit maximale. Déterminer cette valeur de x ainsi que l'aire maximale du triangle.

3

Donner un encadrement de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) puis déterminer, suivant les valeurs de k, le nombre de solution de l’équation \(\displaystyle{f\left(x\right)=k}\)

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