Première S 2015-2016
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Première S 2015-2016

Rechercher la mesure principale d'un angle

Un angle α possède une infinité de mesures en radians. La mesure principale d'un angle est la mesure qui appartient à ]π;π].

Déterminer la mesure principale de l'angle 153π6.

Etape 1

Chercher k tel que α+2kπ]π;π]

On cherche à déterminer la mesure principale de l'angle α.

On écrit que l'on cherche k tel que :

π<α+k2ππ

On résout cette inéquation pour obtenir un encadrement de k :

πα<k2ππα

Soit :

πα2π<kπα2π

On calcule ensuite une valeur approchée de πα2π et de πα2π, et on choisit la valeur de k vérifiant l'inégalité.

k doit être un entier relatif.

On cherche l'entier relatif k tel que π<153π6+k2ππ. On résout :

π<153π6+k2ππ

π153π6<+k2ππ153π6

159π6<k2π147π6

159π6×2π<k147π6×2π

15912<k14712

Or :

  • 15912=13,25
  • 14712=12,25

On en déduit donc que k=13.

Etape 2

Déterminer la mesure principale

Pour la valeur de k déterminée précédemment, on calcule α+k2π.

La valeur trouvée est la mesure principale de l'angle α.

On calcule 153π6+2kπ avec la valeur de k trouvée précédemment :

153π613×2π=153π626π

153π613×2π=153π626π×66

153π613×2π=153π156π6

153π613×2π=3π6

153π613×2π=π2

La mesure principe de l'angle 153π6 est donc π2.

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