Première S 2015-2016
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Première S 2015-2016

Le produit scalaire

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormal (O;i,j).

I

Le produit scalaire de deux vecteurs

A

Définition

Produit scalaire

Soient u et v deux vecteurs non nuls. On appelle produit scalaire des vecteurs u et v, noté uv, le réel :

uv=u×v×cos(u,v)

Soient les vecteurs u et v tels que u=2, v=3 et (u,v)=π3.

On a :

uv=u×v×cos(u,v)

uv=2×3×cos(π3)

uv=2×3×12

uv=3

Si A, B et C sont trois points distincts, alors :

ABAC=AB×AC×cos(BACˆ)

Soit ABC un triangle tel que AB=2, AC=3 et BACˆ=π3.

On a :

ABAC=AB×AC×cos(BACˆ)

ABAC=2×3×cos(π3)

ABAC=2×3×12

ABAC=3

Le produit scalaire uv a le même signe que cos(u,v).

Si au moins l'un des vecteurs est nul, alors on pose :

uv=0

On a, pour tout vecteur u :

uu=u2

Soient deux points A et B tels que AB=12. On a :

ABAB=AB2=AB2=122=144

Soient u, v et w trois vecteurs quelconques du plan. Soit k un réel. On a alors :

Commutativité :

uv=vu

Distributivité :

u(v+w)=uv+uw

Multiplication par un réel k :

k(uv)=(ku)v=u(kv)

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

-

Le produit scalaire ABAC de deux vecteurs AB et AC colinéaires est égal à :

  • AB×AC si AB et AC sont de même sens.
  • AB×AC si AB et AC sont de sens contraire.
-
B

L'expression avec le projeté orthogonal

Soient A, B et C trois points distincts du plan, et H le projeté orthogonal de C sur (AB).

Si H[AB) :

ABAC=AB×AH

-
-

ABCD et FEAG sont des rectangles avec E[AB], CD=5, AD=3, FG=2 et AG=5. On cherche à calculer ADAC.

D est le projeté orthogonal de C sur (AD).

Donc :

ADAC=AD×AD=3×3=9

Si H[AB) :

ABAC=AB×AH

-
-

ABCD et FEAG sont des rectangles avec E[AB], CD=5, AD=3, FG=2 et AG=5. On cherche à calculer ADAF.

G est le projeté orthogonal de F sur (AD) et G[AD).

Donc :

ADAF=AD×AG=3×5=15

C

L'expression analytique

Expression analytique

Le produit scalaire des vecteurs u(xy) et v(xy) est égal à :

uv=xx+yy

On considère les vecteurs AB(51) et AC(78).

ABAC=5×7+(1)×(8)=35+8=43

D

L'expression avec les normes

Expressions du produit scalaire avec les normes

Soient u et v deux vecteurs. Les deux expressions suivantes permettent de calculer le produit scalaire uv :

uv=12(u2+v2uv2)

uv=12(u+v2u2v2)

On cherche à calculer ADAB à l'aide de la figure suivante :

-

ABCD est un parallélogramme.

ADAB=12×(AD2+AB2ADAB2)

Ainsi :

ADAB=12×(82+42BD2)=12×(8072)=312

On cherche à calculer ADAB à l'aide de la figure suivante :

-

ABCD est un parallélogramme.

ADAB=12×(AD+AB2AD2AB2)

Ainsi :

ADAB=12×(AC28242)=12×(1126416)=412

II

Vecteurs orthogonaux

A

La caractérisation analytique

Vecteurs orthogonaux

Dans un repère orthonormal, deux vecteurs u(xy) et v(xy) sont orthogonaux si et seulement si :

xx+yy=0

On cherche à déterminer l'orthogonalité des vecteurs AB(43) et AC(1216).

ABAC=4×12+(3)×(16)=4848=0

Les vecteurs AB et AC sont donc orthogonaux.

B

Vecteur normal à une droite

Vecteur normal

Soient une droite D et un vecteur non nul n du plan.
Le vecteur n est normal à la droite D si et seulement s'il est orthogonal à un vecteur directeur de D.

-

Vecteur normal

Soit une droite D d'équation cartésienne ax+by+c=0. Un vecteur normal à D est le vecteur :

n(ab)

Une droite dont une équation cartésienne est 5x2y+7=0 a pour vecteur normal u(52).

Il suffit de connaître un point et un vecteur normal d'une droite pour la définir.

Déterminons une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point A(2;1) et dont un vecteur normal est u(14).

Comme u(14) est normal à (d), (d) a une équation de la forme :

x+4y+c=0

Or A(d), donc ses coordonnées vérifient l'équation de (d). On obtient :

xA+4yA+c=0

D'où :

2+4×1+c=0

Ainsi :

c=2

Une équation de (d) est donc :

x+4y2=0

C

Équation de cercles

Equation de cercle

Le cercle de centre K de rayon R admet pour équation :

(xxK)2+(yyK)2=R2

Le cercle de centre K(2;5) et de rayon 3 a pour équation :

(x+2)2+(y5)2=9

Soit K(xK;yK) un point du plan.

Un point M(x;y) appartient au cercle de centre K et de rayon R si et seulement si KM=R.

Comme KM et R sont des distances, et donc sont positives :

KM=RKM2=R2

Or :

KM2=(xxK)2+(yyK)2

Donc un point M(x;y) appartient au cercle de centre K et de rayon R si et seulement si :

(xxK)2+(yyK)2=R2.

Caractérisation d'un cercle

Soient A et B deux points distincts. Le point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si :

MAMB=0

-
III

Applications

A

Théorème de la médiane

Théorème de la médiane

Soient A et B deux points distincts fixés et I le milieu du segment [AB]. Pour tout point M du plan, on a :

MA2+MB2=2MI2+AB22

-
-

On cherche à calculer BI.

D'après le théorème de la médiane on a :

BA2+BC2=2BI2+AC22.

Donc :

BI2=12×(BA2+BC2AC22)

On calcule :

BI2=12×(52+621022)=112

Soit, comme une longueur est toujours positive :

BI=112=222

B

Théorème d'Al-Kashi

Théorème d'Al-Kashi

Dans tout triangle ABC, avec les notations de la figure ci-dessous :

a2=b2+c22bccosAˆ

b2=c2+a22cacosBˆ

c2=a2+b22abcosCˆ

-
-

On cherche à calculer BC. D'après le théorème d'al-Kashi, on a :

a2=b2+c22bccosAˆ

Soit :

a2=52+322×5×3×cos(π3)=25+930×12=3415=19

D'où :

a=19

C

Formule des aires

Soit ABC un triangle non aplati d'aire Γ. On a alors, avec les mêmes notations que pour le théorème d'Al-Kashi :

Γ=12bcsin(Aˆ)=12acsin(Bˆ)=12absin(Cˆ)

On considère le triangle suivant :

-

L'aire du triangle ABC est :

Γ=12bcsin(Aˆ)

Γ=12×5×3×sin(π3)

Γ=12×5×3×32

Γ=1534 u.a.

D

Formule des sinus

Soit ABC un triangle non aplati. On a alors, avec les mêmes notations que pour le théorème d'Al-Kashi :

asin(Aˆ)=bsin(Bˆ)=csin(Cˆ)

On considère le triangle suivant, dans lequel on cherche à déterminer la valeur de a :

-

D'après la formule des sinus, on a :

asin(Aˆ)=bsin(Bˆ)

Soit :

a=b×sin(Aˆ)sin(Bˆ)

a=5sin(π3)sin(π4)

a=5×3222

a=5×32

a=562

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