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Démontrer que deux droites sont perpendiculaires

Méthode 1

Avec des vecteurs normaux de chaque droite

Deux droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont orthogonales si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Soient \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) les droites d'équations cartésiennes respectives \(\displaystyle{2x+y-3=0}\) et \(\displaystyle{-x+2y+4=0}\).

Démontrer que \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont perpendiculaires.

Etape 1

Déterminer un vecteur normal de chaque droite

D'après le cours, si une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}}\) est un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

On détermine les cordonnées d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) normal à \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) normal à \(\displaystyle{\left(d'\right)}\).

On sait qu'une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}}\) est un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Or la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{2x+y-3=0}\).

Donc un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}}\)

De même la droite \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{-x+2y+4=0}\).

Donc un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}}\)

Etape 2

Rappeler le cours

On rappelle que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.

D'après le cours, deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.

Etape 3

Calculer le produit scalaire

On calcule donc le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}\) .

On calcule le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2\times \left(-1\right) +1 \times 2}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0}\)

Etape 4

Conclure

  • Si le produit scalaire est nul, les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont perpendiculaires.
  • Sinon, les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) ne sont pas perpendiculaires.

Le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}\) étant nul, les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont perpendiculaires.

Méthode 2

Avec les vecteurs directeurs de chaque droite

Deux droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Soient \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) les droites d'équations cartésiennes respectives \(\displaystyle{4x+2y+13=0}\) et \(\displaystyle{3x-6y+5=0}\).

Démontrer que \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont perpendiculaires.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur de chaque droite

D'après le cours, si une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix}}\) est un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

On détermine les cordonnées d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) directeur de \(\displaystyle{\left(d'\right)}\).

On sait qu'une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix}}\) est un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Or la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{4x+2y+13=0}\).

Donc un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 4 \end{pmatrix}}\).

De même la droite \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{3x-6y+5=0}\).

Donc un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 3 \end{pmatrix}}\).

Etape 2

Rappeler le cours

On rappelle que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.

D'après le cours, deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.

Etape 3

Calculer le produit scalaire

On calcule le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}\).

On calcule le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -2\times 6 +4\times 3}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0}\)

Etape 4

Conclure

  • Si le produit scalaire est nul, les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont perpendiculaires.
  • Sinon, les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) ne sont pas perpendiculaires.

Le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}\) étant nul, les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont perpendiculaires.

Méthode 3

Avec un vecteur normal et un vecteur directeur

Deux droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont orthogonales si un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont colinéaires.

Soient \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) les droites d'équations cartésiennes respectives \(\displaystyle{4x-14y+1=0}\) et \(\displaystyle{7x+2y=0}\).

Démontrer que \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont perpendiculaires.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur et un vecteur normal

D'après le cours, si une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix}}\) est un vecteur directeur et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}}\) est un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

On détermine les cordonnées d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) normal à \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) directeur de \(\displaystyle{\left(d'\right)}\).

On sait qu'une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix}}\) est un vecteur directeur et \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}}\) un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Or la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{4x-14y+1=0}\).

Donc un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -14 \end{pmatrix}}\).

De plus, la droite \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{7x+2y=0}\).

Donc un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 7 \end{pmatrix}}\).

Etape 2

Démontrer la colinéarité des vecteurs

D'après le cours, deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) sont colinéaires si et seulement si :

\(\displaystyle{xy'-x'y = 0}\)

En utilisant cette formule, on démontre que les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont colinéaires.

Deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) sont colinéaires si \(\displaystyle{xy' -x'y=0}\).

On calcule :

\(\displaystyle{4\times 7 - \left(-2\right) \times \left(-14\right) =28 -28 = 0}\)

Donc les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) sont colinéaires.

Etape 3

Conclure

Si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont colinéaires, les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont perpendiculaires.

Donc les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont perpendiculaires.

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