Se connecter
ou

Déterminer si un point appartient à une droite

Un point \(\displaystyle{M\left(x_M;y_M\right)}\) appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation de la droite.

Soit une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) d'équation cartésienne \(\displaystyle{4x-y+3 = 0}\).

Déterminer si \(\displaystyle{A\left(1;7\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(-1 ; 1\right)}\) appartiennent à \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle qu'un point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation de la droite.

Les points A et B appartiennent à la droite si et seulement si leurs coordonnées vérifient l'équation \(\displaystyle{4x-y+3 = 0}\).

Etape 2

Rappeler les coordonnées du point et une équation de la droite

On rappelle :

  • L'équation cartésienne de la droite
  • Les coordonnées du point concerné

La droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{4x-y+3 = 0}\).

On a \(\displaystyle{A\left(1;7\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(-1;1\right)}\).

Etape 3

Effectuer le calcul

On remplace les coordonnées de M dans l'équation de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

On remplace les coordonnées de \(\displaystyle{A\left(1;7\right)}\) dans l'équation de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) :

\(\displaystyle{4x_A-y_A+3=4\times 1-7+3=4-7+3=0}\)

Les coordonnées de A vérifient l'équation de la droite.

On remplace les coordonnées de \(\displaystyle{B\left(-1 ; 1\right)}\) dans l'équation de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) :

\(\displaystyle{4x_B-y_B+3=4\times\left(-1\right)-1+3=-4-1+3= -2 \neq 0}\)

Les coordonnées de B ne vérifient pas l'équation de la droite.

Etape 4

Conclure

On conclut sur l'appartenance du point M à la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) :

  • Si \(\displaystyle{ax_M+by_M+c=0}\), alors \(\displaystyle{M \in \left(d\right)}\).
  • Si \(\displaystyle{ax_M+by_M+c \neq 0}\), alors \(\displaystyle{M \notin \left(d\right)}\).

On en déduit que \(\displaystyle{A\in \left(d\right)}\) et \(\displaystyle{B\notin \left(d\right)}\).

Identifie-toi pour voir plus de contenu

Pour avoir accès à l'intégralité des contenus de Kartable et pouvoir naviguer en toute tranquillité,
connecte-toi à ton compte. Et si tu n'es toujours pas inscrit, il est grand temps d'y remédier.