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Donner le sens de variation du produit d'une fonction par un réel

On sait déterminer le sens de variation de \(\displaystyle{f=k\times g}\)g est une fonction de référence et k est un réel.

Soit la fonction f, définie par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = -5x^2}\)

Dresser le tableau de variations de f.

Etape 1

Identifier la fonction usuelle

On identifie la fonction usuelle g telle que \(\displaystyle{f\left(x\right) = k \times g\left(x\right) }\).

On a \(\displaystyle{f\left(x \right) = k \times g\left(x\right) }\)\(\displaystyle{g\left(x\right) = x^2}\) et \(\displaystyle{k = -5}\).

Etape 2

Dresser son tableau de variations

On dresse le tableau de la fonction usuelle g.

On dresse le tableau de variations de la fonction \(\displaystyle{x\longmapsto x^2}\) :

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Etape 3

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que :

  • La fonction \(\displaystyle{f=k\times g }\) a le même sens de variation que la fonction g si \(\displaystyle{k \gt 0}\)
  • La fonction \(\displaystyle{f=k\times g }\) a le sens de variation contraire à la fonction g si \(\displaystyle{k \lt 0}\).

Ici, \(\displaystyle{f=k\times g}\) avec \(\displaystyle{k\lt0}\).

f et g ont donc des sens de variation contraires.

Etape 4

Calculer éventuellement le nouvel extremum

Si la fonction g possède un extremum égal à m alors la fonction f possède un extremum égal à \(\displaystyle{k\times m}\), avec \(\displaystyle{m \in\mathbb{R}}\) et \(\displaystyle{k \in\mathbb{R}}\).
On calcule éventuellement ce nouvel extremum.

Ici, d'après son tableau de variations, \(\displaystyle{g\left(0\right) =0}\).

On en déduit que l'extremum de la fonction f est égal à : \(\displaystyle{f\left(0\right) = -5\times 0 = 0}\).

Etape 5

Dresser le tableau de variations de la fonction

On dresse enfin le tableau de variations de la fonction f.

On en déduit le tableau de variations de f :

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